设三角形 $ABC$ 是一个锐角三角形，其垂心为 $H$，设 $W$ 是边 $BC$ 上一点，与顶点 $B,C$ 均不重合．$M$ 和 $N$ 分别是过顶点 $B$ 和 $C$ 的高的垂足．记三角形 $BWN$ 的外接圆为 $\omega_{1}$，设 $X$ 是 $\omega_{1}$ 上一点，且 $WX$ 是 $\omega_{1}$ 的直径．类似地，记三角形 $CWM$ 的外接圆为 $\omega_{2}$，设 $Y$ 是 $\omega_{2}$ 上一点，且 $WY$ 是 $\omega_{2}$ 的直径．证明：点 $X,Y$ 和 $H$ 共线．（泰国）
【难度】
【出处】
2013年第54届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $AL$ 是 $BC$ 边上的高，$Z$ 是圆 $\omega_1$ 与圆 $\omega_2$ 的不同于 $W$ 的另一个交点，下面证明点 $X,Y,Z$ 和 $H$ 共线．
因为 $\angle BNC=\angle BMC-90^{\circ}$，所以 $B,C,M,N$ 四点共圆，记这个圆为 $\omega_3$．由于 $WZ$ 是 $\omega_1$ 与 $\omega_2$ 的根轴，$BN$ 是 $\omega_1$ 与 $\omega_3$ 的根轴，$CM$ 是 $\omega_2$ 与 $\omega_3$ 的根轴，从而他们相交于一点．因为 $BN$ 与 $CM$ 相交于点 $A$，所以 $WZ$ 过点 $A$．
由于 $WX,WY$ 分别是 $\omega_1,\omega_2$ 的直径，故 $\angle WZX=\angle WZY=90^{\circ}$，因此点 $X,Y$ 在过点 $Z$ 且与 $WZ$ 垂直的直线 $l$ 上．
因为 $\angle BNH=\angle BLH=90^{\circ}$，所以 $B,L,H,N$ 四点共圆，由圆幂定理：
$A L \cdot A H=A B \cdot A N=A W \cdot A Z$ ①
若点 $H$ 在直线 $AW$ 上，则点 $H$ 与 $Z$ 重合．
若点 $H$ 不在直线 $AW$ 上，则由 ① 得
$
\dfrac{A Z}{A H}=\dfrac{A L}{A W}
$
于是 $\triangle AHZ\sim \triangle AWL$，所以 $\angle HZA=\angle WLA=90^{\circ}$，故点 $H$ 也在直线 $l$ 上．
因为 $\angle BNC=\angle BMC-90^{\circ}$，所以 $B,C,M,N$ 四点共圆，记这个圆为 $\omega_3$．由于 $WZ$ 是 $\omega_1$ 与 $\omega_2$ 的根轴，$BN$ 是 $\omega_1$ 与 $\omega_3$ 的根轴，$CM$ 是 $\omega_2$ 与 $\omega_3$ 的根轴，从而他们相交于一点．因为 $BN$ 与 $CM$ 相交于点 $A$，所以 $WZ$ 过点 $A$．由于 $WX,WY$ 分别是 $\omega_1,\omega_2$ 的直径，故 $\angle WZX=\angle WZY=90^{\circ}$，因此点 $X,Y$ 在过点 $Z$ 且与 $WZ$ 垂直的直线 $l$ 上．
因为 $\angle BNH=\angle BLH=90^{\circ}$，所以 $B,L,H,N$ 四点共圆，由圆幂定理：
$A L \cdot A H=A B \cdot A N=A W \cdot A Z$ ①
若点 $H$ 在直线 $AW$ 上，则点 $H$ 与 $Z$ 重合．
若点 $H$ 不在直线 $AW$ 上，则由 ① 得
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\dfrac{A Z}{A H}=\dfrac{A L}{A W}
$
于是 $\triangle AHZ\sim \triangle AWL$，所以 $\angle HZA=\angle WLA=90^{\circ}$，故点 $H$ 也在直线 $l$ 上．
答案
解析
备注
