如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC=90 \circ $，$ D,G $ 是边 $ CA$ 上的两点，连接 $BD,BG$．过点 $A,G$ 分别作 $BD$ 的垂线，垂足分别为 $E,F$，连接 $CF$．已知 $BE=EF$，求证：$\angle ABG=\angle DFC.$
【难度】
【出处】
2006中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
作 $GM\bot AB$ 于 $M$，设 $AE$ 与 $BG$ 的交点为 $K$，连接 $KM$．由 $BE=EF$，及 $AE\parallel GF$ 知，$K$ 为 $Rt\triangle BGM$ 斜边 $BG$ 上的中线，所以 $BK=KG=MK,\angle ABG=\angle BMK$．因为 $BF\cdot AK=4S_{\triangle ABK}=2S_{\triangle ABG}=AB\cdot MG$，又 $MG\parallel BC$，所以 $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MG}$，故 $AB\cdot MG=BC\cdot AM$，所以 $BF\cdot AK=BC\cdot AM$，即 $\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{AM}{AK}$．
结合 $\angle KAB=\angle CBD$，知 $\triangle KAM\sim\triangle CBF$，所以 $\angle AMK=\angle CFB$，于是 $\angle BMK=\angle CFD$，故 $\angle ABG=\angle DFC$．
证法二
作 $Rt\triangle ABC$ 的外接圆 $w$，延长 $BD,AE$ 分别交 $w$ 于 $K,J$．
连接 $BJ,CJ,KJ,FJ$．易知 $\angle BAJ=\angle KBC$，故 $BJ=KC$．于是四边形 $BJCK$ 是等腰梯形，又 $AJ$ 垂直平分 $BF$，故 $BJ=FJ$，故四边形 $FJCK$ 是平行四边形．
设 $AE$ 与 $BG$ 的交点为 $M$，$FC$ 与 $JK$ 的交点为 $N$，则 $M,N$ 分别是 $BG$ 和 $FC$ 的中点，于是 $\dfrac{AB}{AG}=\dfrac{\sin\angle MAG}{\sin\angle BAM}=\dfrac{\sin\angle JKC}{\sin\angle BKJ}=\dfrac{FK}{CK}$．
又 $\angle BAG=\angle FKC$，于是 $\triangle BAG\sim\triangle FKC$，所以 $\angle ABG=\angle DFC$．
作 $GM\bot AB$ 于 $M$，设 $AE$ 与 $BG$ 的交点为 $K$，连接 $KM$．由 $BE=EF$，及 $AE\parallel GF$ 知，$K$ 为 $Rt\triangle BGM$ 斜边 $BG$ 上的中线，所以 $BK=KG=MK,\angle ABG=\angle BMK$．因为 $BF\cdot AK=4S_{\triangle ABK}=2S_{\triangle ABG}=AB\cdot MG$，又 $MG\parallel BC$，所以 $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MG}$，故 $AB\cdot MG=BC\cdot AM$，所以 $BF\cdot AK=BC\cdot AM$，即 $\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{AM}{AK}$．
结合 $\angle KAB=\angle CBD$，知 $\triangle KAM\sim\triangle CBF$，所以 $\angle AMK=\angle CFB$，于是 $\angle BMK=\angle CFD$，故 $\angle ABG=\angle DFC$．
证法二作 $Rt\triangle ABC$ 的外接圆 $w$，延长 $BD,AE$ 分别交 $w$ 于 $K,J$．
连接 $BJ,CJ,KJ,FJ$．易知 $\angle BAJ=\angle KBC$，故 $BJ=KC$．于是四边形 $BJCK$ 是等腰梯形，又 $AJ$ 垂直平分 $BF$，故 $BJ=FJ$，故四边形 $FJCK$ 是平行四边形．
设 $AE$ 与 $BG$ 的交点为 $M$，$FC$ 与 $JK$ 的交点为 $N$，则 $M,N$ 分别是 $BG$ 和 $FC$ 的中点，于是 $\dfrac{AB}{AG}=\dfrac{\sin\angle MAG}{\sin\angle BAM}=\dfrac{\sin\angle JKC}{\sin\angle BKJ}=\dfrac{FK}{CK}$．
又 $\angle BAG=\angle FKC$，于是 $\triangle BAG\sim\triangle FKC$，所以 $\angle ABG=\angle DFC$．
答案
解析
备注
