设点 $D$ 为等腰 $\triangle ABC$ 的底边 $BC$ 上一点，$F$ 为过 $A,D,C$ 三点的圆在 $\triangle ABC$ 内的弧上一点，过 $B,D,F$ 三点的圆与边 $AB$ 交于点 $E$．求证：$CD\cdot EF+DF\cdot AE=BD\cdot AF$ ①
【难度】
【出处】
2004中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $AF$ 的延长线交 $\odot BDF$ 于 $K$．因为 $\angle AEF=\angle AKB$，所以 $\triangle AEF\sim\triangle AKB$，因此 $\dfrac{EF}{AF}=\dfrac{BK}{AB},\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AK}{AB}$．于是要证 ①，只需证明：$CD\cdot BK+DF\cdot AK=BD\cdot AB$ ②
又注意到 $\angle KBD=\angle KFD=\angle C$
我们有 $S_{\triangle DCK}=\dfrac{1}{2}CD\cdot BK\cdot \sin\angle C,S_{\triangle ADK}=\dfrac{1}{2}AK\cdot DF\cdot \sin\angle C$
同时 $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}BD\cdot AB\cdot \sin\angle C$
因此要证 ②，只需证明 $S_{\triangle ABD}=S_{\triangle DCK}+S_{\triangle ADK} $ ③
而 $ ③ \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AKC}\Leftrightarrow BK\parallel AC$ ④
事实上由 $\angle KBD=\angle C$ 知 ④ 成立，得证．
又注意到 $\angle KBD=\angle KFD=\angle C$
我们有 $S_{\triangle DCK}=\dfrac{1}{2}CD\cdot BK\cdot \sin\angle C,S_{\triangle ADK}=\dfrac{1}{2}AK\cdot DF\cdot \sin\angle C$
同时 $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}BD\cdot AB\cdot \sin\angle C$
因此要证 ②，只需证明 $S_{\triangle ABD}=S_{\triangle DCK}+S_{\triangle ADK} $ ③
而 $ ③ \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AKC}\Leftrightarrow BK\parallel AC$ ④
事实上由 $\angle KBD=\angle C$ 知 ④ 成立，得证．
答案
解析
备注
