已知直线 $l$ 与单位圆 $S$ 相切于点 $P$，点 $A$ 与圆 $S$ 在 $l$ 的同侧，且 $A$ 到 $l$ 的距离为 $h(h>2)$，从点 $A$ 作 $S$ 的两条切线，分别与 $l$ 交于 $B,C$ 两点．求线段 $PB$ 与线段 $PC$ 的长度之乘积．
【难度】
【出处】
2005中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $PB,PC$ 的长度分别为 $p,q$，设 $\angle ABP=\beta,\angle ACP=\gamma$，设 $AC$ 与 $S$ 的切点为 $E$，记圆心为 $O$，设 $AE$ 的长度为 $t$，连接 $AO,OE$，则在直角三角形 $AOE$ 中，我们有 $\angle AOE=\dfrac{1}{2}(\beta+\gamma)$，因此 $t=\tan\dfrac{1}{2}(\beta+\gamma)=\dfrac{p+q}{pq-1}$．
这样我们可得 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC}$ 为 $S_{\triangle ABC}=(p+q+t)\times 1=\dfrac{pq(p+q)}{pq-1}$．
又因为 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}(p+q)\times h$，所以可得 $\dfrac{1}{2}h=\dfrac{pq}{pq-1}$．
整理得 $pq=\dfrac{h}{h-2}$．
这样我们可得 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC}$ 为 $S_{\triangle ABC}=(p+q+t)\times 1=\dfrac{pq(p+q)}{pq-1}$．
又因为 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}(p+q)\times h$，所以可得 $\dfrac{1}{2}h=\dfrac{pq}{pq-1}$．
整理得 $pq=\dfrac{h}{h-2}$．
答案
解析
备注
