已知凸四边形 $ABCD$，$E,F$ 为其对边的两个交点，平面内是否存在一点 $P$，满足 $PA\cdot PC=PB\cdot PD=PE\cdot PF$．若 $P$ 点存在，请问这样的 $P$ 点是否唯一。
【难度】
【出处】
2019北大数学科学夏令营
【标注】
【答案】
略
【解析】
存在且唯一．
存在性：取出完全四边形 $ABECF D $ 的 Miquel 点 $T$．
则由 Miquel 点的性质知，$\angle T BE = \angle T F A,\angle T EB = \angle T DF \Rightarrow \triangle P EB \sim \triangle P DF \Rightarrow T E \cdot T F = T D \cdot T B$．并且有 $\angle BT D,\angle F T E$ 的内角平分线重合．同理有 $T E \cdot T F = T A\cdot T C$，并且有 $\angle AT C,\angle F T E $ 的内角平分线重合，故知 $T$ 点满足题目要求．
唯一性：我们以 $T$ 点为原点建立复平面，用大写字母对应的小写字母对应该点对应的复数．由于 $\angle F T E,\angle AT C,\angle BT D $ 的内角平分线重合，且 $T A \cdot T C = T B \cdot T D = T E \cdot T F$ 知 $ a \cdot c = b \cdot d = e \cdot f$，我们可不妨设它们均等于 $ 1$．
若存在不同于 $ T$ 点的点 $ P$ 满足要求，由于 $ p \ne 0$，可以取 $m = \dfrac{1}{2}\left(p +\dfrac{1}{p}\right),M$ 为复数 $ m$ 对
应的点，由条件知 $ |(p − a)(p − c)| = |(p − b)(p − d)| = |(p − e)(p − f)|$．
则有 $ |(p − a)(p − c)| = |(p − b)(p − d)| \Rightarrow |p^2 −(a + c)p + 1| = |p^2 −(b + d)p + 1|$．这表明
$\left|m-\dfrac{a+c}{2}\right|=\left|\dfrac{p+\frac{1}{p}}{2}-\dfrac{a+c}{2}\right|=\left|\dfrac{p+\frac{1}{p}}{2}-\dfrac{b+d}{2}\right|=\left|m-\dfrac{b+d}{2}\right|$
即 $M$ 点到 $AC$ 中点，$BD $ 中点距离相同．
同理即得 $M$ 点到 $AC$ 中点，$EF$ 中点的距离均相同．设 $ AC$ 中点，$BD$ 中点，$EF$ 中点分别为 $X,Y,Z$．故 $ P$ 在 $XY$ 中垂线上，又在 $ XZ$ 中垂线上．
但由 Newton线定理知，$X,Y,Z$ 三点共线．由于 $ BEDF$ 都不是平行四边形，所以 $ Y,Z$ 不重合．故 $XY$ 中垂线和 $XZ$ 中垂线没有交点，这与 $P$ 在这两条直线上相矛盾．故原题中 $P$ 是存在且唯一的．
存在性：取出完全四边形 $ABECF D $ 的 Miquel 点 $T$．
则由 Miquel 点的性质知，$\angle T BE = \angle T F A,\angle T EB = \angle T DF \Rightarrow \triangle P EB \sim \triangle P DF \Rightarrow T E \cdot T F = T D \cdot T B$．并且有 $\angle BT D,\angle F T E$ 的内角平分线重合．同理有 $T E \cdot T F = T A\cdot T C$，并且有 $\angle AT C,\angle F T E $ 的内角平分线重合，故知 $T$ 点满足题目要求．
唯一性：我们以 $T$ 点为原点建立复平面，用大写字母对应的小写字母对应该点对应的复数．由于 $\angle F T E,\angle AT C,\angle BT D $ 的内角平分线重合，且 $T A \cdot T C = T B \cdot T D = T E \cdot T F$ 知 $ a \cdot c = b \cdot d = e \cdot f$，我们可不妨设它们均等于 $ 1$．若存在不同于 $ T$ 点的点 $ P$ 满足要求，由于 $ p \ne 0$，可以取 $m = \dfrac{1}{2}\left(p +\dfrac{1}{p}\right),M$ 为复数 $ m$ 对
应的点，由条件知 $ |(p − a)(p − c)| = |(p − b)(p − d)| = |(p − e)(p − f)|$．
则有 $ |(p − a)(p − c)| = |(p − b)(p − d)| \Rightarrow |p^2 −(a + c)p + 1| = |p^2 −(b + d)p + 1|$．这表明
$\left|m-\dfrac{a+c}{2}\right|=\left|\dfrac{p+\frac{1}{p}}{2}-\dfrac{a+c}{2}\right|=\left|\dfrac{p+\frac{1}{p}}{2}-\dfrac{b+d}{2}\right|=\left|m-\dfrac{b+d}{2}\right|$
即 $M$ 点到 $AC$ 中点，$BD $ 中点距离相同．
同理即得 $M$ 点到 $AC$ 中点，$EF$ 中点的距离均相同．设 $ AC$ 中点，$BD$ 中点，$EF$ 中点分别为 $X,Y,Z$．故 $ P$ 在 $XY$ 中垂线上，又在 $ XZ$ 中垂线上．
但由 Newton线定理知，$X,Y,Z$ 三点共线．由于 $ BEDF$ 都不是平行四边形，所以 $ Y,Z$ 不重合．故 $XY$ 中垂线和 $XZ$ 中垂线没有交点，这与 $P$ 在这两条直线上相矛盾．故原题中 $P$ 是存在且唯一的．
答案
解析
备注
