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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19211 5d47cb36210b280220ed7241 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心．用 $\Gamma$ 表示以 $AI$ 为直径的圆．设 $\Gamma$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于点 $A$ 与 $D$，且 $D$ 在不含点 $B$ 的弧 $\overparen{AC}$ 上，过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线，与圆 $\Gamma$ 交于 $A$ 及另一点 $E$（如图所示）．若 $DI$ 平分 $\angle CDE$，且 $\angle ABC=33^{\circ}$，求 $\angle BAC$ 的度数． 2022-04-17 19:36:48
19207 5d47d3c0210b28021fc79381 高中 解答题 自招竞赛 如图$E,F$ 分别是线段 $AB,AD$ 上的点，$BF,DE$ 交于点 $C$．已知 $AE+EC=AF+FC$．证明：$AB+BC=AD+DC$． 2022-04-17 19:33:48
19205 5d47da94210b28021fc793a2 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC>BC$．$\triangle ABC$ 的内切圆与边 $AB,BC,CA$ 分别相切于点 $D,E,F$，线段 $DE,EF,FD$ 的中点分别是 $L,M,N$．直线 $NL$ 与射线 $AB$ 交于点 $P$，直线 $LM$ 与射线 $BC$ 交于点 $Q$，直线 $NM$ 与射线 $AC$ 交于点 $R$．证明：$PA \cdot QB \cdot RC = PD \cdot QE \cdot RF$ 2022-04-17 19:32:48
19183 5d47e7bb210b280220ed72c1 高中 解答题 自招竞赛 如图在钝角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，点 $O$ 是其外心，边 $BC,CA,AB$ 的中点分别为 $D,E,F$，中线 $AD$ 与 $OF,OE$ 所在直线分别交于点 $M,N$，直线 $BM,CN$ 交于点 $P$．证明：$OP\perp AP$ 2022-04-17 19:19:48
19181 5d47ee88210b280220ed72f0 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 与 $\triangle XYZ$ 是锐角三角形．证明：
$\cot A(\cot Y+\cot Z)$，$\cot B(\cot Z+\cot X)$，$\cot C(\cot X+\cot Y)$ 三数的最大值不小于 $\dfrac{2}{3}$．		 2022-04-17 19:19:48
19179 5d47f1fa210b28021fc79402 高中 解答题 自招竞赛 如图设 $O$ 为平面上一个定圆 $\omega_1$ 的圆心，$P$ 为圆周上一个动点，以 $P$ 为圆心，作半径小于圆 $O$ 半径的圆 $\omega_2$，交 $\omega_1$ 于 $T,Q$，设 $TR$ 为 $\omega_2$ 的直径．分别以 $R,P$ 为圆心，$RQ$ 为半径作圆，设两圆与 $Q$ 在直线 $PR$ 同侧的交点为 $M$．以 $M$ 为圆心，$MR$ 为半径的圆与 $\omega_2$ 交于 $R,N$．证明：以 $T$ 为圆心，$TN$ 为半径的圆过点 $O$． 2022-04-17 19:17:48
19160 5d48f41b210b280220ed73b8 高中 解答题 自招竞赛 如图在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$M$ 是 $BC$ 边的中点，$I$ 是内心，
$MI$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，$BI$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于另一点 $E$．证明：$\dfrac{ED}{EI}=\dfrac{IC}{IB}$．		 2022-04-17 19:06:48
19155 5d4919d6210b28021fc7948c 高中 解答题 自招竞赛 如图设 $O$ 为平面上一个定圆 $\omega_1$ 的圆心，$P$ 为圆周上一个动点，以 $P$ 为圆心，作半径小于圆 $O$ 半径的圆 $\omega_2$，交 $\omega_1$ 于 $T,Q$，设 $TR$ 为 $\omega_2$ 的直径．分别以 $R,P$ 为圆心，$RQ$ 为半径作圆，设两圆与 $Q$ 在直线 $PR$ 同侧的交点为 $M$．以 $M$ 为圆心，$MR$ 为半径的圆与 $\omega_2$ 交于 $R,N$．证明：以 $T$ 为圆心，$TN$ 为半径的圆过点 $O$． 2022-04-17 19:04:48
19143 5d4938ed210b280220ed744a 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，内切圆 $I$ 与 $BC$ 边切于点 $D$，$AD$ 交内切圆 $I$ 于另一点 $E$，圆 $I$ 的切线 $EP$ 交 $BC$ 的延长线于点 $P$，$CF$ 平行 $PE$ 交 $AD$ 于点 $F$，直线 $BF$ 交圆 $I$ 于点 $M,N$，点 $M$ 在线段 $BF$ 上，线段 $PM$ 与圆 $I$ 交于另一点 $Q$．证明：$\angle ENP=\angle ENQ$． 2022-04-17 19:58:47
19128 5d4a32ed210b280220ed74f2 高中 解答题 自招竞赛 如图$\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 在边 $AB,BC,CA$ 上的切点分别是 $D,E,F$，直线 $EF$ 与直线 $AI,BI,DI$ 分别相交于点 $M,N,K$．证明：$DM\cdot KE=DN\cdot KF$． 2022-04-17 19:49:47
19123 5d4a422a210b280220ed754a 高中 解答题 自招竞赛 如图$\triangle ABC$ 中，$D$ 为边 $AC$ 上一点且 $\angle ABD=\angle C$，点 $E$ 在边 $AB$ 上且 $BE=DE$，设 $M$ 为 $CD$ 中点，$AH\perp DE$ 于点 $H$．已知 $AH=2-\sqrt{3}$，$AB=1$，求 $\angle AME$ 的度数． 2022-04-17 19:47:47
19104 5d4a7ed0210b280220ed75ca 高中 解答题 自招竞赛 过 $\triangle ABC$ 的外心 $O$ 任作一直线，分别交边 $AB、AC$ 于 $M,N$，$E,F$ 分别是 $BN、CM$ 的中点．证明：$\angle EOF=\angle A$． 2022-04-17 19:36:47
19103 5d4a8cf6210b28021fc795f4 高中 解答题 自招竞赛 设 $A A_{0} ,B B_{0}, C C_{0}$ 是 $\triangle A B C$ 的三条角平分线，自 $A_0$ 作 $A_{0} A_{1} / / B B_{0}, A_{0} A_{2} / / C C_{0}$，$A_1、A_2$ 分别在 $AC、AB$ 上，直线 $A_{1} A_{2}$ 交 $BC$ 于 $A_3$；类似得到点 $B_3、C_3$．证明：$A_{3}, B_{3}, C_{3}$ 三点共线． 2022-04-17 19:36:47
19047 5d4cda3d210b28021fc79738 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $\triangle ABC$ 内切圆 $I$ 分别与边 $AB,BC$ 相交于点 $F,D$，直线 $AD,CF$ 分别交圆 $I$ 于另一点 $H,K$．求证：$\dfrac{FD\times HK}{FH\times DK}=3$． 2022-04-17 19:06:47
19045 5d4d0494210b28021fc79772 高中 解答题 自招竞赛 如图，三角形 $ABC$ 为直角三角形，$\angle ABC=90^\circ$．$M_1,M_2$ 为 $\triangle ABC$ 内任意两点，$M$ 为线段 $M_1M_2$ 的中点，直线 $BM_1,BM_2,BM$ 与 $AC$ 边分别交于点 $N_1,N_2,N$．求证：$\dfrac{M_1N_1}{BM_1}+\dfrac{M_2N_2}{BM_2}\geqslant 2\dfrac{MN}{BM}$． 2022-04-17 19:05:47
18994 5d50ce0e210b28021fc7987c 高中 解答题 自招竞赛 在凸五边形 $ABCDE$ 中，已知 $AB=DE,BC=EA,AB\ne EA$，且 $B,C,D,E$ 四点共圆．
证明：$A,B,C,D$ 四点共圆的充分必要条件是 $AC=AD$．		 2022-04-17 19:37:46
18990 5d510296210b28021fc798c7 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\odot O,\odot I$ 分别是 $\triangle ABC$ 的外接圆和内切圆；证明：过 $\odot O$ 上的任意一点 $D$，都可作一个三角形 $DEF$，使得 $\odot O,\odot I$ 分别是 $\triangle DEF$ 的外接圆和内切圆． 2022-04-17 19:35:46
18977 5d513faa210b28021fc7992b 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$BC>AB$，$BD$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于 $D$，如图，$CP$ 垂直 $BD$，垂足为 $P$，$AQ$ 垂直 $BP$，$Q$ 为垂足．$M$ 是 $AC$ 中点，$E$ 是 $BC$ 中点．若 $\triangle PQM$ 的外接圆 $O$ 与 $AC$ 的另一个交点为 $H$．求证：$Q,H,E,M$ 四点共圆． 2022-04-17 19:28:46
18974 5d522310210b280220ed79b4 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC,AC$ 于点 $M,N$，$E,F$ 分别为边 $AB,AC$ 的中点，$D$ 是直线 $EF$ 与 $BI$ 的交点．证明；$M,N,D$ 三点共线． 2022-04-17 19:26:46
18967 5d5257af210b280220ed7a0d 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，设 $C,D$ 是以 $O$ 为圆心，$AB$ 为直径的半圆上的任意两点，过点 $B$ 作 $\odot O$ 的切线交直线 $CD$ 于 $P$，直线 $PO$ 与直线 $CA,AD$ 分别交于点 $E,F$．
证明：$OE=OF$．		 2022-04-17 19:23:46
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