如图，$\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切 $BC,AC$ 于点 $M,N$，$E,F$ 分别为边 $AB,AC$ 的中点，$D$ 是直线 $EF$ 与 $BI$ 的交点．证明；$M,N,D$ 三点共线．
【难度】
【出处】
2008中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
连结 $AD$，则易知 $\angle ADB=90^\circ$．并连接 $AI,DM$，$DM$ 与 $AC$ 交于点 $G$．因为 $\angle ABI=\angle DBM$，所以 $\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BI}{BM}$，故 $\triangle ABI\sim\triangle DBM$，从而 $\angle DMB=\angle AIB=90^\circ+\dfrac{1}{2}\angle ACB$
连结 $IG,IC,IM$，则 $\angle IMG=\angle DMB-90^\circ=\dfrac{1}{2}\angle ACB=\angle GCI$，所以 $I,M,C,G$ 四点共圆．
从而 $IG\perp AC$，因此 $G$ 与 $N$ 重合，即 $M,N,D$ 三点共线．
连结 $IG,IC,IM$，则 $\angle IMG=\angle DMB-90^\circ=\dfrac{1}{2}\angle ACB=\angle GCI$，所以 $I,M,C,G$ 四点共圆．
从而 $IG\perp AC$，因此 $G$ 与 $N$ 重合，即 $M,N,D$ 三点共线．
答案
解析
备注
