在凸五边形 $ABCDE$ 中，已知 $AB=DE,BC=EA,AB\ne EA$，且 $B,C,D,E$ 四点共圆．
证明：$A,B,C,D$ 四点共圆的充分必要条件是 $AC=AD$．
证明：$A,B,C,D$ 四点共圆的充分必要条件是 $AC=AD$．
【难度】
【出处】
2009中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
必要性：若 $A,B,C,D$ 共圆，则由 $AB=DE,BC=EA$，得 $\angle BAC=\angle EDA,\angle ACB=\angle DAE$，所以 $\angle ABC=\angle DEA$，故得 $AC=AD$．
充分性：记 $B,C,D,E$ 所共的圆为 $\odot O$，若 $AC=AD$，则圆心 $O$ 在 $CD$ 的中垂线 $AH$ 上．设点 $B$ 关于 $AH$ 的对称点为 $F$，则 $F$ 在 $\odot O$ 上，且因 $AB\ne EA$，即 $DE\ne DF$，所以 $E,F$ 不共点，且 $\triangle AFD\cong \triangle ABC$．又由 $AB=DE,BD=EA$，知 $\triangle AED\cong\triangle CBA$，因此 $\triangle AED\cong\triangle DFA$，故由 $\angle AED=\angle DFA$，得 $A,E,F,D$ 共圆，即点 $A$ 在 $\odot DEF$ 上，也即点 $A$ 在 $\odot O$ 上，从而 $A,B,C,D$ 共圆．
充分性：记 $B,C,D,E$ 所共的圆为 $\odot O$，若 $AC=AD$，则圆心 $O$ 在 $CD$ 的中垂线 $AH$ 上．设点 $B$ 关于 $AH$ 的对称点为 $F$，则 $F$ 在 $\odot O$ 上，且因 $AB\ne EA$，即 $DE\ne DF$，所以 $E,F$ 不共点，且 $\triangle AFD\cong \triangle ABC$．又由 $AB=DE,BD=EA$，知 $\triangle AED\cong\triangle CBA$，因此 $\triangle AED\cong\triangle DFA$，故由 $\angle AED=\angle DFA$，得 $A,E,F,D$ 共圆，即点 $A$ 在 $\odot DEF$ 上，也即点 $A$ 在 $\odot O$ 上，从而 $A,B,C,D$ 共圆．
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