如图
在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$M$ 是 $BC$ 边的中点，$I$ 是内心，
$MI$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，$BI$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于另一点 $E$．证明：$\dfrac{ED}{EI}=\dfrac{IC}{IB}$．
在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$M$ 是 $BC$ 边的中点，$I$ 是内心，$MI$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，$BI$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于另一点 $E$．证明：$\dfrac{ED}{EI}=\dfrac{IC}{IB}$．
【难度】
【出处】
2014中国东南数学奥林匹克试题(高二)
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，记 $BE$ 与 $AC$ 交于点 $F$．如图，连结 $AI,CE$．
对 $\triangle BCK$ 与截线 $MID$ 用梅涅劳斯定理，得 $\dfrac{BM}{MC}\cdot\dfrac{CD}{DF}\cdot{FI}{IB}=1$，又 $BM=MC$，
所以 $\dfrac{CD}{DF}=\dfrac{IB}{FI}$．
由 $AI$ 平分 $\angle BAC$ 知，$\dfrac{IB}{FI}=\dfrac{AB}{AF}$．
由 $A,B,C,E$ 四点共圆知，$\angle ABE=\angle ACE$，故 $\triangle ABF\sim\triangle ECF$，所以又有 $\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{EC}{EF}$．
注意到 $\angle E B C=\angle E B A=\angle E C A
$ ①
故 $
\angle E I C=\angle E B C+\angle B C I=\angle E C A+\angle I C A=\angle B C I
$
所以 $EC=EI$．
由上述结论可得，$
\dfrac{C D}{D F}=\dfrac{I B}{F I}=\dfrac{A B}{A F}=\dfrac{E C}{E F}=\dfrac{E I}{E F}
$
故 $ED\parallel IC$
从而 $\angle BCI=\angle ICD=\angle CDE$
又注意 ①，得 $\triangle BCI \sim\triangle CDE$
所以 $\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{ED}{EC}=\dfrac{ED}{EI}$，证毕．
对 $\triangle BCK$ 与截线 $MID$ 用梅涅劳斯定理，得 $\dfrac{BM}{MC}\cdot\dfrac{CD}{DF}\cdot{FI}{IB}=1$，又 $BM=MC$，所以 $\dfrac{CD}{DF}=\dfrac{IB}{FI}$．
由 $AI$ 平分 $\angle BAC$ 知，$\dfrac{IB}{FI}=\dfrac{AB}{AF}$．
由 $A,B,C,E$ 四点共圆知，$\angle ABE=\angle ACE$，故 $\triangle ABF\sim\triangle ECF$，所以又有 $\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{EC}{EF}$．
注意到 $\angle E B C=\angle E B A=\angle E C A
$ ①
故 $
\angle E I C=\angle E B C+\angle B C I=\angle E C A+\angle I C A=\angle B C I
$
所以 $EC=EI$．
由上述结论可得，$
\dfrac{C D}{D F}=\dfrac{I B}{F I}=\dfrac{A B}{A F}=\dfrac{E C}{E F}=\dfrac{E I}{E F}
$
故 $ED\parallel IC$
从而 $\angle BCI=\angle ICD=\angle CDE$
又注意 ①，得 $\triangle BCI \sim\triangle CDE$
所以 $\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{ED}{EC}=\dfrac{ED}{EI}$，证毕．
答案
解析
备注
