设 $\triangle ABC$ 与 $\triangle XYZ$ 是锐角三角形．证明：
$\cot A(\cot Y+\cot Z)$，$\cot B(\cot Z+\cot X)$，$\cot C(\cot X+\cot Y)$ 三数的最大值不小于 $\dfrac{2}{3}$．
$\cot A(\cot Y+\cot Z)$，$\cot B(\cot Z+\cot X)$，$\cot C(\cot X+\cot Y)$ 三数的最大值不小于 $\dfrac{2}{3}$．
【难度】
【出处】
2014中国东南数学奥林匹克试题(高一)
【标注】
【答案】
略
【解析】
将 $\cot A,\cot B,\cot C,\cot X,\cot Y,\cot Z$ 分别记为 $a,b,c,x,y,z$，则
$\begin{array}{c}{a b+b c+c a=x y+y z+z x=1} \\ {a, b, c, x, y, z>0}\end{array}$
由柯西不等式得
$\begin{aligned}(a+b+c)^{2}(x+y+z)^{2} &=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\right) \geqslant(a x+b y+c z+2)^{2} \end{aligned}$
即
$
(a+b+c)(x+y+z) \geqslant a x+b y+c z+2
$
即
$
a(y+z)+b(z+x)+c(x+y) \geqslant 2
$
从而
$
\max \{a(y+z), b(z+x), c(x+y)\} \geqslant \dfrac{2}{3}
$
证毕．
$\begin{array}{c}{a b+b c+c a=x y+y z+z x=1} \\ {a, b, c, x, y, z>0}\end{array}$
由柯西不等式得
$\begin{aligned}(a+b+c)^{2}(x+y+z)^{2} &=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\right) \geqslant(a x+b y+c z+2)^{2} \end{aligned}$
即
$
(a+b+c)(x+y+z) \geqslant a x+b y+c z+2
$
即
$
a(y+z)+b(z+x)+c(x+y) \geqslant 2
$
从而
$
\max \{a(y+z), b(z+x), c(x+y)\} \geqslant \dfrac{2}{3}
$
证毕．
答案
解析
备注
