在 $\triangle ABC$ 中，$BC>AB$，$BD$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于 $D$，如图，$CP$ 垂直 $BD$，垂足为 $P$，$AQ$ 垂直 $BP$，$Q$ 为垂足．$M$ 是 $AC$ 中点，$E$ 是 $BC$ 中点．若 $\triangle PQM$ 的外接圆 $O$ 与 $AC$ 的另一个交点为 $H$．求证：$Q,H,E,M$ 四点共圆．
【难度】
【出处】
2008中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
作 $AQ$ 延长线交 $BC$ 于 $N$，则 $Q$ 为 $AN$ 中点，又 $M$ 为 $AC$ 中点，所以 $QM\parallel BC$，所以 $\angle PQM=\angle PBC=\dfrac{1}{2}\angle ABC$．
同理 $\angle MPQ=\dfrac{1}{2}\angle ABC$，所以 $QM=PM$．
又因为 $Q,H,P,M$ 共圆，所以 $\angle PHC=\angle PHM=\angle PQM$，得 $\angle PHC=\angle PBC$，所以 $P,H,B,C$ 四点共圆，得 $\angle BHC=\angle BPC=90^\circ$，故 $HE=\dfrac{1}{2}EP$．
结合 $OH=OP$，知 $OE$ 为 $HP$ 中垂线，由 $\angle MPQ=\dfrac{1}{2}\angle ABC$ 及 $E$ 为 $BC$ 的中点可得 $P,M,E$ 共线，故 $\angle EHO=\angle EPO=\angle OPM=\angle OMP$，所以 $O,H,E,M$ 四点共圆．
同理 $\angle MPQ=\dfrac{1}{2}\angle ABC$，所以 $QM=PM$．
又因为 $Q,H,P,M$ 共圆，所以 $\angle PHC=\angle PHM=\angle PQM$，得 $\angle PHC=\angle PBC$，所以 $P,H,B,C$ 四点共圆，得 $\angle BHC=\angle BPC=90^\circ$，故 $HE=\dfrac{1}{2}EP$．
结合 $OH=OP$，知 $OE$ 为 $HP$ 中垂线，由 $\angle MPQ=\dfrac{1}{2}\angle ABC$ 及 $E$ 为 $BC$ 的中点可得 $P,M,E$ 共线，故 $\angle EHO=\angle EPO=\angle OPM=\angle OMP$，所以 $O,H,E,M$ 四点共圆．
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