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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18218 5c8776e0210b28428f14d782 高中 解答题 自招竞赛 在一个面积为 $32$ 平方厘米的平面凸四边形中，两条对边和一条对角线的长度之和为 $16$ 厘米，试确定另一条对角线的所有可能长度．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:25:39
18208 5d9d6f13210b282710a26038 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$ 是平面直角坐标系上三条直线 $x=1$，$y=0$ 和 $y=t(2x-t)$ 围成的闭区域，其中 $0<t<1$．证明：在区域 $A$ 内，以 $P(t,t^2)$，$Q(1,0)$ 为其中两个顶点的三角形的面积不超过 $\dfrac{1}{4}$． 2022-04-17 19:19:39
18207 5d9d700e210b28270fa5d359 高中 解答题 自招竞赛 如图，在梯形ABCD中，$AB\parallel CD$，$\odot O_1$ 与 $DA,AB,BC$ 三边相切，
$\odot O_2$ 与 $BC,CD,DA$ 三边相切．设 $P$ 是 $\odot O_1$ 与边 $AB$ 的切点，$Q$ 是 $\odot O_2$ 与边 $CD$ 的切点．证明：$AC,BD,PQ$ 三线共点．		 2022-04-17 19:18:39
18202 5d9d7463210b28270fa5d37d 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 外切于点 $T$，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O_1$，直线 $DA,CB$ 分别切 $\odot O_2$ 于点 $E,F$．直线 $BN$ 平分 $\angle ABF$ 并与线段 $EF$ 交于点 $N$．直线 $FT$ 交 $\overparen{AT}$（不包含点 $B$ 的弧）内于点 $M$．求证：点 $M$ 为 $\triangle BCN$ 的外心． 2022-04-17 19:15:39
18196 5c877fd0210b28428f14d7aa 高中 解答题 自招竞赛 在任意 $\triangle ABC$ 的边上向外作 $\triangle ABR,\triangle BCP,\triangle CAQ$，使得 $\angle CBP=\angle CAQ=45^\circ$，$\angle BCP=\angle ACQ=30^\circ$，$\angle ABR=\angle BAR=15^\circ$．试证：$\angle QRP=90^\circ;QR=RP$．（荷兰） 2022-04-17 19:11:39
18192 5d2bedb1210b280220ed5ff1 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为边 $BC$ 上一点，设 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 的内心分别为 $I_1$ 和 $I_2$，$\triangle AI_1D$ 和 $\triangle AI_2D $ 的外心分别为 $ O_1 $ 和 $ O_2 $，直线 $ I_1O_2 $ 与 $ I_2O_1 $ 交于点 $ P $．
求证：$ PD\bot BC$．		 2022-04-17 19:09:39
18167 5c8864b1210b28319b6ddc62 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 的三个内角分别是 $\angle A=\alpha,\angle B=\beta,\angle C=\gamma$．试证在 $AB$ 上有一点 $D$，使 $CD$ 为 $AD$ 和 $BD$ 的几何中项的充要条件是 $\sin \alpha\sin \beta\leqslant {{\sin }^{2}}\dfrac{\gamma}{2}$．（芬兰） 2022-04-17 19:57:38
18155 5c8868a7210b28319abba5ca 高中 解答题 自招竞赛 一个战士想要查遍一个正三角形区域内及边界上有无地雷，他的探测器的有效半径等于正三角形高的一半．这个战士从三角形的一个顶点出发开始探测．问他遵循这样的探测路线才能使查遍整个区域的路程最短？（南斯拉夫） 2022-04-17 19:49:38
18144 5c886b52210b28319abba5ea 高中 解答题 自招竞赛 给定 $4$ 个不重合的互相平行的平面，试证：存在一个正四面体，它的 $4$ 个顶点分别在这 $4$ 个平面上．（英国） 2022-04-17 19:44:38
18130 5c886d3f210b28319abba5fe 高中 解答题 自招竞赛 四面体 $ABCD$ 的各面都是锐角三角形，考察所有的多边形 $XYZTX$，其中 $X,Y,Z,T$ 分别是 $AB,BC,CD,DA$ 的内分点，试证：
（$a$）若 $\angle DAB+\angle BCD\not=\angle CDA+\angle ABC$，那么不存在周长最小的多边形 $XYZTX$．
（$b$）若 $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$，那么存在无限多个周长最小的多边形 $XYZTX$，且其周长为 $2AC\sin \dfrac{\alpha }{2}$，这里 $α=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$．（荷兰）		 2022-04-17 19:37:38
18125 5c887471210b28319b6ddcb1 高中 解答题 自招竞赛 设点 $M$ 是 $\triangle ABC$ 的 $AB$ 边上任一内点，${r}_{1},{r}_{2},r$ 分别是 $\triangle AMC,\triangle BMC,\triangle ABC$ 的内切圆半径：$q_1,q_2,q$ 分别是上述这些三角形在 $\angle ACM,\angle BCM,\angle ACB$ 内的旁切圆半径．试证：$\dfrac{{{r}_{1}}}{{{q}_{1}}}\cdot \dfrac{{{r}_{2}}}{{{q}_{2}}}=\dfrac{r}{q}$．（波兰） 2022-04-17 19:34:38
18121 5c887539210b28319abba61b 高中 解答题 自招竞赛 设在四面体 $ABCD$ 中，$\angle BDC$ 是直角，$D$ 到平面 $ABC$ 的垂足 $S$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心．试证：${(AB+BC+CA)}^{2}\leqslant 6({AD}^{2}+{BD}^{2}+{CD}^{2})$．并说明等号成立时是一个什么四面体？（保加利亚） 2022-04-17 19:32:38
18117 5c887854210b28319b6ddcd4 高中 解答题 自招竞赛 设四面体的 $k$ 条边的长度均为 $a$，其余 $6-a$ 条边的长度均为 $1$，试对 $k = 1,2,3,4,5$ 的情况确定四面体存在的充要条件，即确定 $a$ 必须满足的条件．（波兰） 2022-04-17 19:30:38
18116 5c887859210b28319abba62b 高中 解答题 自招竞赛 设 $Y$ 是以线段 $AB$ 为直径的半圆弧，$C$ 是 $Y$ 弧 上异于 $A$ 与 $B$ 的点，$D$ 是 从 $C$ 到 $AB$ 上的垂线的垂足，又 ${Y}_{1},{Y}_{2},{Y}_{3}$ 是以 $AB$ 为公切线的三个圆，其中 ${Y}_{1}$ 是 $\triangle ABC$ 的内切圆，而 ${Y}_{2}$ 和 ${Y}_{3}$ 均与 $CD$，半圆弧 $Y$ 和 $AB$ 相切．求证：圆 ${Y}_{1},{Y}_{2},{Y}_{3}$ 有第二条公切线．（荷兰） 2022-04-17 19:29:38
18115 5c887860210b28319abba631 高中 解答题 自招竞赛 已知一平面内有 $n$ 个点 $(n>4)$，其中任三点都不共线．求证：至少可以找到 $C_{n-3}^{2}$ 个以上述点为顶点的凸四边形．（蒙古） 2022-04-17 19:29:38
18113 5c887b80210b28319abba63c 高中 解答题 自招竞赛 求证：只存在一个这样的三角形，它的三边之长为三个连续正整数，并且它的三个内角中有一个角为另一个内角的两倍．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:28:38
18110 5c887b95210b28319abba64d 高中 解答题 自招竞赛 求证：任何一个四面体总有一个顶点，以这个顶点引出的三条棱为边可构成一个三角形．（波兰） 2022-04-17 19:26:38
18107 5c888e36210b286d07454018 高中 解答题 自招竞赛 在平行四边形 $ABCD$ 中，$\triangle ABD$ 为锐角三角形，$AB=a,AD=1,\angle BAD=\alpha$，$\odot A,\odot ,B\odot C,\odot D$ 分别为以平行四边形的顶点 $A、B、C、D$ 为圆心，以 $1$ 为半径的圆．求证：这 $4$ 个圆能够覆盖平行四边形 $ABCD$ 的充要条件是 $a\leqslant \cos \alpha+\sqrt{3}\sin \alpha$．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:25:38
18106 5c888e4b210b286d125ef165 高中 解答题 自招竞赛 一个四面体，如果有且仅有一条棱长大于 $1$，求证这个四面体的体积不大于 $\dfrac{1}{8}$．（波兰） 2022-04-17 19:24:38
18105 5c888e5e210b286d125ef170 高中 解答题 自招竞赛 已知两个锐角三角形 $\triangle {A}_{0}{B}_{0}{C}_{0}$ 与 $\triangle{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$，求作一个三角形 $\triangle ABC$，使 $\triangle ABC\sim \triangle{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$（$A,BC,$ 分别与 $A_1,B_1,C_1$ 相对应），$\triangle ABC$ 外接于 $\triangle {A}_{0}{B}_{0}{C}_{0}$（${A}_{0},{B}_{0},{C}_{0}$ 分别在 $BC,AC,AB$ 上），再求作满足上述条件的三角形中面积最大的一个．（意大利） 2022-04-17 19:24:38
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