在一个面积为 $32$ 平方厘米的平面凸四边形中，两条对边和一条对角线的长度之和为 $16$ 厘米，试确定另一条对角线的所有可能长度．（捷克斯洛伐克）
【难度】
【出处】
1976年第18届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设凸四边形 $ABCD$ 中，$AB+AC+CD=16$，我们要求的是 $BD$．
由于
$\begin{aligned}
32&=四边形ABCD面积\\
&=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}\\
&=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin\angle BAC+\dfrac{1}{2}AC\cdot CD\cdot \sin\angle ACD\\
&\leqslant \dfrac{1}{2}AC(AB+CD)\\
&\leqslant \dfrac{1}{8}(AC+AB+CD)^2\\
&=\dfrac{256}{8}=32
\end{aligned}$
于是等号成立，前者要求 $\angle BAC=\angle ACD=90^\circ$，后者要求 $AC=AB+CD=8$．
以 $AC,AB$ 为边向外作矩形 $ABA^\prime C$，易知 $A^\prime B=AC=8,DA^\prime =DC+AB=8,\angle DA^\prime B=90^\circ$，于是在等腰直角三角形 $BA^\prime D$ 中，$BD=8\sqrt{2}$ 厘米．
由于
$\begin{aligned}
32&=四边形ABCD面积\\
&=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}\\
&=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin\angle BAC+\dfrac{1}{2}AC\cdot CD\cdot \sin\angle ACD\\
&\leqslant \dfrac{1}{2}AC(AB+CD)\\
&\leqslant \dfrac{1}{8}(AC+AB+CD)^2\\
&=\dfrac{256}{8}=32
\end{aligned}$
于是等号成立，前者要求 $\angle BAC=\angle ACD=90^\circ$，后者要求 $AC=AB+CD=8$．
以 $AC,AB$ 为边向外作矩形 $ABA^\prime C$，易知 $A^\prime B=AC=8,DA^\prime =DC+AB=8,\angle DA^\prime B=90^\circ$，于是在等腰直角三角形 $BA^\prime D$ 中，$BD=8\sqrt{2}$ 厘米．
答案
解析
备注
