求证：任何一个四面体总有一个顶点，以这个顶点引出的三条棱为边可构成一个三角形．（波兰）
【难度】
【出处】
1968年第10届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设四面体 $ABCD$，且 $AB$ 是最长棱．易知 $AB<AC+BC,AB<AD+BD$，于是
$\begin{aligned}
2AB&<AC+BC+AD+BD\\
&=(AC+AD)+(BC+BD)\\
&\leqslant 2\max (AC+AD,BC+BD)
\end{aligned}$ ①
不妨设 $AC+AD\geqslant BC+BD$，于是 ① 即 $AB<AC+AD$，由 $AB$ 之定义既知 $AB,AC,AD$ 可构成一三角形的三边．
$\begin{aligned}
2AB&<AC+BC+AD+BD\\
&=(AC+AD)+(BC+BD)\\
&\leqslant 2\max (AC+AD,BC+BD)
\end{aligned}$ ①
不妨设 $AC+AD\geqslant BC+BD$，于是 ① 即 $AB<AC+AD$，由 $AB$ 之定义既知 $AB,AC,AD$ 可构成一三角形的三边．
答案
解析
备注
