设 $Y$ 是以线段 $AB$ 为直径的半圆弧，$C$ 是 $Y$ 弧 上异于 $A$ 与 $B$ 的点，$D$ 是 从 $C$ 到 $AB$ 上的垂线的垂足，又 ${Y}_{1},{Y}_{2},{Y}_{3}$ 是以 $AB$ 为公切线的三个圆，其中 ${Y}_{1}$ 是 $\triangle ABC$ 的内切圆，而 ${Y}_{2}$ 和 ${Y}_{3}$ 均与 $CD$，半圆弧 $Y$ 和 $AB$ 相切．求证：圆 ${Y}_{1},{Y}_{2},{Y}_{3}$ 有第二条公切线．（荷兰）
【难度】
【出处】
1969年第11届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图所示，不妨设 $O$ 为 $AB$ 中点，$D$ 在 $AO$ 上．
圆心 $Y_2,Y_3$ 在 $AB$ 上的射影分别为 $D_2,D_3$，又设 $\odot Y_2$ 和 $\odot Y_3$ 的半径分别为 $r_2,r_3$．$AB=2r$．
于是，由 $Y_2D_2^2+D_2O^2=Y_2O^2$，得 $r_2^2+(r_2+DO)^2=(r-r_2)^2$．
此即 $r_2^2+2(DO+r)r_2=r^2-DO^2=(r+DO)(r-DO)$
或 $r_2^2+2r_2BD=AD\cdot BD$．
设 $AB,BC,CA$ 分别为 $c,a,b$，由射影定理得 $BD=\dfrac{a^2}{c},AD=\dfrac{b^2}{c}$，
于是
$\begin{aligned}
\left(r_2+\dfrac{a^2}{c}\right)^2&=\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{a^4}{c^2}\\
&=\dfrac{a^2}{c^2}(a^2+b^2)\\
&=a^2
\end{aligned}$
因此，$r_2=a-\dfrac{a^2}{c}$．
同样可解得 $r_3=b-\dfrac{b^2}{c}$．
于是 $r_2+r_3=a+b-\dfrac{a^2+b^2}{c}=a+b-c=2(p-c)$．
这里 $p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$．
找到 $Y_2Y_3$ 中点 $I$，作 $ID_1\perp AB$，$D_1$ 为垂足．
则 $ID_1=\dfrac{1}{2}(r_2+r_3)=p-c$，
易知这正是 $\triangle ABC$ 的内切圆半径的长度．
又
$\begin{aligned}
D_1B&=D_1D_3+D_3B\\
&=D_1D_3+BD-DD_3\\
&=\dfrac{1}{2}(r_2+r_3)+\dfrac{a^2}{c}-r_3\\
&=\dfrac{1}{2}(r_2-r_3)+\dfrac{a^2}{c}\\
&=\dfrac{1}{2}\left(a-\dfrac{a^2}{c}-b+\dfrac{b^2}{c}\right)+\dfrac{a^2}{c}\\
&=\dfrac{1}{2}(a-b)+\dfrac{1}{2}\dfrac{a^2+b^2}{c}\\
&=\dfrac{1}{2}(c+a-b)\\
&=p-b
\end{aligned}$
于是 $D_1$ 为 $\triangle ABC$ 内切圆的切点之一．而由前知 $ID_1$ 又正好是内切圆半径长．于是 $I$ 就是 $Y_1$，也就是说 $Y_1$ 正好是 $Y_2Y_3$ 的中点，三圆关于直线 $Y_2Y_3$ 对称．于是它们在 $AB$ 处相切，也必然有第二条公切线，这条公切线与 $AB$ 关于直线 $Y_2Y_3$ 对称．
圆心 $Y_2,Y_3$ 在 $AB$ 上的射影分别为 $D_2,D_3$，又设 $\odot Y_2$ 和 $\odot Y_3$ 的半径分别为 $r_2,r_3$．$AB=2r$．于是，由 $Y_2D_2^2+D_2O^2=Y_2O^2$，得 $r_2^2+(r_2+DO)^2=(r-r_2)^2$．
此即 $r_2^2+2(DO+r)r_2=r^2-DO^2=(r+DO)(r-DO)$
或 $r_2^2+2r_2BD=AD\cdot BD$．
设 $AB,BC,CA$ 分别为 $c,a,b$，由射影定理得 $BD=\dfrac{a^2}{c},AD=\dfrac{b^2}{c}$，
于是
$\begin{aligned}
\left(r_2+\dfrac{a^2}{c}\right)^2&=\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{a^4}{c^2}\\
&=\dfrac{a^2}{c^2}(a^2+b^2)\\
&=a^2
\end{aligned}$
因此，$r_2=a-\dfrac{a^2}{c}$．
同样可解得 $r_3=b-\dfrac{b^2}{c}$．
于是 $r_2+r_3=a+b-\dfrac{a^2+b^2}{c}=a+b-c=2(p-c)$．
这里 $p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$．
找到 $Y_2Y_3$ 中点 $I$，作 $ID_1\perp AB$，$D_1$ 为垂足．
则 $ID_1=\dfrac{1}{2}(r_2+r_3)=p-c$，
易知这正是 $\triangle ABC$ 的内切圆半径的长度．
又
$\begin{aligned}
D_1B&=D_1D_3+D_3B\\
&=D_1D_3+BD-DD_3\\
&=\dfrac{1}{2}(r_2+r_3)+\dfrac{a^2}{c}-r_3\\
&=\dfrac{1}{2}(r_2-r_3)+\dfrac{a^2}{c}\\
&=\dfrac{1}{2}\left(a-\dfrac{a^2}{c}-b+\dfrac{b^2}{c}\right)+\dfrac{a^2}{c}\\
&=\dfrac{1}{2}(a-b)+\dfrac{1}{2}\dfrac{a^2+b^2}{c}\\
&=\dfrac{1}{2}(c+a-b)\\
&=p-b
\end{aligned}$
于是 $D_1$ 为 $\triangle ABC$ 内切圆的切点之一．而由前知 $ID_1$ 又正好是内切圆半径长．于是 $I$ 就是 $Y_1$，也就是说 $Y_1$ 正好是 $Y_2Y_3$ 的中点，三圆关于直线 $Y_2Y_3$ 对称．于是它们在 $AB$ 处相切，也必然有第二条公切线，这条公切线与 $AB$ 关于直线 $Y_2Y_3$ 对称．
答案
解析
备注
