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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18368 5c873f20210b284290fc2bf2 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，$\angle A,\angle B,\angle C$ 的平分线延长后分别与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于 ${A}_{1},{B}_{1},{C}_{1}$，直线 $A{A}_{1}$ 与 $\angle B,\angle C$ 的外角平分线交于 ${A}_{0}$，类似地得到点 ${B}_{0}$ 和 ${C}_{0}$．求证：
（1）$\triangle {A}_{0}{B}_{0}{C}_{0}$ 的面积是六边形 $A{C}_{1}B{A}_{1}C{B}_{1}$ 面积的两倍；
（2）$\triangle {A}_{0}{B}_{0}{C}_{0}$ 的面积至少是 $\triangle ABC$ 面积的四倍．（澳大利亚）		 2022-04-17 19:46:40
18357 5c873f2b210b284290fc2bf7 高中 解答题 自招竞赛 设 在凸四边形 $ABCD$ 中，$AB=AD+BC$．在此四边形内，距离 $CD$ 为 $h$ 的地方有一点 $P$，使得 $AP = h + AD,BP = h + BC$．求证：$\dfrac{1}{\sqrt{h}}\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{AD}}+\dfrac{1}{\sqrt{BC}}$．（冰岛） 2022-04-17 19:38:40
18351 5c87436a210b284290fc2c06 高中 解答题 自招竞赛 考虑在同一平面上，半径分别为 $R$ 与 $r(R>r)$ 的两个同心圆．设 $P$ 是小圆周上一个交点，$B$ 是大圆周上的一个动点，直线 $BP$ 与大圆周的另一交点为 $C$，通过点 $P$ 且与 $BP$ 垂直的直线 $l$ 与小圆的另一交点为 $A$（如果 $l$ 与小圆切于 $P$，则 $A=P$）．试求：
（1）表达式 ${AB}^{2}+{BC}^{2}+{CA}^{2}$ 所取值的集合；
（2）线段 $AB$ 中点的轨迹．（卢森堡）		 2022-04-17 19:35:40
18350 5c87438b210b28428f14d680 高中 解答题 自招竞赛 在直角三角形 $ABC$ 中，$AD$ 是 斜边 $BC$ 上的高，过 $\triangle ABD$ 的内心与 $\triangle ACD$ 的内心的直线分别交边 $AB$ 和 $AC$ 于 $K$ 和 $L$，$\triangle ABC$ 和 $\triangle AKL$ 的面积 分别记为 $S$ 和 $T$．求证：$S\geqslant2T$．（希腊） 2022-04-17 19:35:40
18342 5c8745bd210b28428f14d697 高中 解答题 自招竞赛 锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$ 的平分线交 $BC$ 于 $L$，交 $\triangle ABC$ 的外接圆于 $N$，$LK\perp AB$ 交 $AB$ 于 $K$，$LM\perp AC$ 交与 $M$．求证：$S_{\triangle ABC}=S_{四边形 AKNM}$．（苏联） 2022-04-17 19:31:40
18335 5c874b91210b28428f14d6b7 高中 解答题 自招竞赛 以 $O$ 为 中心的正 $n(n\geqslant 5)$ 边形 的两个相邻顶点标记为 $A$ 和 $B$．$\triangle XYZ\cong\triangle OAB$．最初令 $\triangle XYZ$ 重合于 $\triangle OAB$，然后在平面上移动 $\triangle XYZ$，使得点 $Y、Z$ 都沿着多边形的周界移动而点 $X$ 在多边形内部移动，求点 $X$ 的运动轨迹．（以色列） 2022-04-17 19:27:40
18332 5c874d91210b284290fc2c39 高中 解答题 自招竞赛 设四边形 $ABCD$ 内接于圆，另一圆的圆心在边 $AB$ 上且与四边形的其余三条边均相切．求证：$AD+BC=AB$．（英国） 2022-04-17 19:26:40
18325 5c874da7210b284290fc2c3f 高中 解答题 自招竞赛 设以 $O$ 为心的圆经过 $\triangle ABC$ 的两个顶点 $A$ 和 $C$，且与边 $AB,BC$ 分别交于 $K$ 和 $N$，点 $K$ 与 $N$ 不同，又设 $\triangle ABC$ 和 $\triangle KBN$ 的外接圆交于 $B$ 和另一点 $M$．求证：$\angle OMB$ 是直角．（苏联） 2022-04-17 19:22:40
18319 5c875199210b28428f14d6e2 高中 解答题 自招竞赛 已知在凸四边形 $ABCD$ 中，直线 $CD$ 与以 $AB$ 为直径的圆的相切．求证：当且仅当 $BC\parallel AD$ 时，直线 $AB$ 与以 $CD$ 为直径的圆也相切．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:19:40
18315 5c875698210b284290fc2c71 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A$ 为平面上两个半径不等的圆 ${O}_{1}$ 和 圆 ${O}_{2}$ 的一个交点，两圆的外公切线分别为 ${P}_{1}{P}_{2}$ 和 $Q_1Q_2$，切点分别为 ${P}_{1},{P}_{2};{Q}_{1},{Q}_{2} $．$ M_1,M_2 $ 分别是 $ {P}_{1}{Q}_{1},{P}_{2}Q_2 $ 的中点．求证：$\angle {O}_{1}A{O}_{2}=\angle {M}_{1}A{M}_{2}$．（苏联） 2022-04-17 19:18:40
18310 5c8756af210b284290fc2c7c 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c$ 是三角形的三边长，求证：${a}^{2}b(a-b)+{b}^{2}c(b-c)+{c}^{2}a(c-a)\geqslant 0$，并说明等号何时成立．（美国） 2022-04-17 19:15:40
18265 5c875a67210b284290fc2c8a 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle {A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}$ 为不等边 三角形，它的三边分别为 ${a}_{1}、{a}_{2}、{a}_{3}$，其中 ${a}_{i}$ 是 ${A}_{i}$ 的对边 $(i=1,2,3)$，${M}_{i}$ 是边 ${a}_{i}$ 的中点，${T}_{i}$ 为 $\triangle {A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}$ 内切圆与 ${a}_{i}$ 边 的切点，${S}_{i}$ 是 ${T}_{i}$ 关于 $\angle {A}_{i}$ 平分线的对称点．求证：${M}_{1}{S}_{1}、{M}_{2}{S}_{2}、{M}_{3}{S}_{3}$ 三线共点．（荷兰） 2022-04-17 19:52:39
18248 5c875a7b210b28428f14d711 高中 解答题 自招竞赛 已知 $AC,CE$ 是正六边形 $ABCDEF$ 的两条对角线，点 $M,N$ 分别内分 $AC,CE$，且使 $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{CN}{CE}=r$．如果 $B、M、N$ 三点共线，求 $r$ 的值．（荷兰） 2022-04-17 19:42:39
18244 5c8763ff210b28428f14d71d 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$D、E、F$ 分别为 $P$ 到 $BC、CA、AB$ 三边所引垂线的垂足，求使得表达式 $\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$ 取 最小值的所有点 $P$．（英国） 2022-04-17 19:40:39
18243 5c876416210b28428f14d72d 高中 解答题 自招竞赛 已知三个等圆有一个公共点 $O$，并且都在一个已知三角形内．每一个圆与三角形的两边相切．求证：这个三角形的内心、外心与点 $O$ 共线．（苏联） 2022-04-17 19:39:39
18236 5c876786210b284290fc2cb9 高中 解答题 自招竞赛 平面上两圆相交，$A$ 为一个交点，两动点同时从 $A$ 出发，以匀速分别在各自的圆周上依相同方向绕行．旋转一周后，同时回到出发点．求证：在平面上存在一点 $P$，使得在任何时刻从 $P$ 到两动点的距离都相等．（苏联） 2022-04-17 19:36:39
18234 5c87678b210b284290fc2cbf 高中 解答题 自招竞赛 已知平面 $\pi$ 上一点 $P$ 及 $\pi$ 外一点 $Q$．在 $\pi$ 上求一点 $R$，使得比值 $\dfrac{QP+PA}{QR}$ 为 最大．（美国） 2022-04-17 19:34:39
18231 5c876c03210b284290fc2cd5 高中 解答题 自招竞赛 在一个球体内有一定点 $P$，球面上有 $A,B,C$ 三个动点，$\angle BPA=\angle CPA =\angle CPB=90^\circ$，以 $PA,PB$ 和 $PC$ 为棱作长方体，点 $Q$ 是该长方体上与 $P$ 斜对（即 $PQ$ 为体对角线）的一个顶点，当 $A,B,C$ 在球面上移动时，求 $Q$ 点的轨迹．（美国） 2022-04-17 19:33:39
18225 5c876c0e210b28428f14d754 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，边 $AB=AC$．有一个圆内切于 $\triangle ABC$ 的外接圆，并且与 $AB、AC$ 分别相切于 $P、Q$．求证：$P,Q$ 两点联线的中点是 $\triangle ABC$ 的内切圆圆心．（美国） 2022-04-17 19:28:39
18224 5c877457210b284290fc2ce5 高中 解答题 自招竞赛 在正方形 $ABCD$ 的内部作等边三角形 $ABK,BCL,CDM,DAN$．求证：四线段 $KL,LM,MN,NK$ 的中点和八线段 $AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN$ 的中点，是一个正十二边形的十二个顶点．（荷兰） 2022-04-17 19:27:39
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