已知 $A$ 为平面上两个半径不等的圆 ${O}_{1}$ 和 圆 ${O}_{2}$ 的一个交点，两圆的外公切线分别为 ${P}_{1}{P}_{2}$ 和 $Q_1Q_2$，切点分别为 ${P}_{1},{P}_{2};{Q}_{1},{Q}_{2} $．$ M_1,M_2 $ 分别是 $ {P}_{1}{Q}_{1},{P}_{2}Q_2 $ 的中点．求证：$\angle {O}_{1}A{O}_{2}=\angle {M}_{1}A{M}_{2}$．（苏联）
【难度】
【出处】
1983年第24届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设 $O$ 为 $P_1P_2$ 直线与 $Q_1Q_2$ 直线的交点，$O$ 为两圆的位似中心．在这个位似之下，$M_1,O_1,A$ 分别对应到 $M_2,O_2,C$．于是 $AM_1\parallel CM_2,AO_1\parallel CO_2$，故 $\angle O_1AM_1=\angle O_2CM_2$．
又联结 $O_2P_2$．由射影定理及切割线定理，$OM_2\cdot OO_2=OP_2^2=OA\cdot OC$，因此 $A,C,O_2,M_2$ 共圆．所以 $\angle O_2AM_2=\angle O_2CM_2=\angle O_1AM_1(=\alpha)$．
于是，$\angle O_1AO_2=\alpha+\angle M_2AO_1=\angle M_1AM_2$．
又联结 $O_2P_2$．由射影定理及切割线定理，$OM_2\cdot OO_2=OP_2^2=OA\cdot OC$，因此 $A,C,O_2,M_2$ 共圆．所以 $\angle O_2AM_2=\angle O_2CM_2=\angle O_1AM_1(=\alpha)$．于是，$\angle O_1AO_2=\alpha+\angle M_2AO_1=\angle M_1AM_2$．
答案
解析
备注
