设 $a、b、c$ 是三角形的三边长，求证：${a}^{2}b(a-b)+{b}^{2}c(b-c)+{c}^{2}a(c-a)\geqslant 0$，并说明等号何时成立．（美国）
【难度】
【出处】
1983年第24届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
设 $x=p-a,y=p-b,z=p-c,p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$，则 $a=y+z,b=x+z,c=x+y$，且 $x,y,z>0$．
原式左边
$\begin{aligned}
&=(y+z)^2(x+z)(y-x)+(x+z)^2(x+y)(z-y)+(x+y)^2(y+z)(x-z)\\
&=2(xy^3+yz^3+zx^3-x^2yz+xy^2z-xyz^2)\\
&=2[xy(y-z)^2+yz(z-x)^2+zx(x-y)^2]\\
&\geqslant 0
\end{aligned}$
当 $x=y=z$，即 $a=b=c$ 时等号成立．
证法二
不妨设 $a\geqslant b,c$（注：轮换对称式不能假设 $a\geqslant b\geqslant c$）
原式左边 $=a(b-c)^2(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c)\geqslant 0$
由此不难得出等号成立之条件．
设 $x=p-a,y=p-b,z=p-c,p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$，则 $a=y+z,b=x+z,c=x+y$，且 $x,y,z>0$．
原式左边
$\begin{aligned}
&=(y+z)^2(x+z)(y-x)+(x+z)^2(x+y)(z-y)+(x+y)^2(y+z)(x-z)\\
&=2(xy^3+yz^3+zx^3-x^2yz+xy^2z-xyz^2)\\
&=2[xy(y-z)^2+yz(z-x)^2+zx(x-y)^2]\\
&\geqslant 0
\end{aligned}$
当 $x=y=z$，即 $a=b=c$ 时等号成立．
证法二
不妨设 $a\geqslant b,c$（注：轮换对称式不能假设 $a\geqslant b\geqslant c$）
原式左边 $=a(b-c)^2(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c)\geqslant 0$
由此不难得出等号成立之条件．
答案
解析
备注
