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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18537 5c85f913210b284290fc2aea 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 3$ 为整数，$\Gamma_1,\Gamma_2,\cdots,\Gamma_m$ 为平面上半径为 $1$ 的圆，圆心分别为 $O_1,O_2,\cdots,O_n$，假设任一直线至多和两个圆相交或相切．求证：$\displaystyle \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}{\dfrac{1}{{{O}_{i}}{{O}_{j}}}}\leqslant \frac{(n-1)\pi }{4}$．（乌克兰） 2022-04-17 19:20:42
18536 5c85fec9210b28428f14d4db 高中 解答题 自招竞赛 设锐角 $\triangle ABC$ 为外心为 $O$，从 $A$ 作 $BC$ 的高，垂足为 $P$，且 $\angle BCA\geqslant\angle ABC+30^\circ$．求证 $\angle CAB+\angle COP<90^\circ$ 。（韩国） 2022-04-17 19:19:42
18514 5c85fee1210b28428f14d4ed 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AP$ 平分 $\angle BAC$，交 $BC$ 于 $P$，令 $BQ$ 平分 $\angle ABC$，交 $CA$ 于 $Q$，已知 $\angle BAC=60^\circ,AB+BP=AQ+QB$，问 $\triangle ABC$ 的各角的角的度数可能值是多少？（以色列） 2022-04-17 19:06:42
18484 5c860374210b284290fc2b07 高中 解答题 自招竞赛 圆 $\Gamma_1$ 和圆 $\Gamma_2$ 相交于点 $M$ 和 $N$．设 $l$ 是圆 $\Gamma_1$ 和圆 $\Gamma_2$ 的两条公切线中距离 $M$ 较近的那条公切线．$l$ 与圆 $\Gamma_1$ 相切于点 $A$，与圆 $\Gamma_2$ 相切于点 $B$．设经过点 $M$ 且与 $l$ 平行的直线与圆 $\Gamma_1$ 还相交于点 $C$，与圆 $\Gamma_2$ 还相交于点 $D$．直线于 $CA$ 和 $DB$ 相交于点 $E$，直线 $AN$ 和 $CD$ 相交于点 $P$．直线 $BN$ 和 $CD$ 相交于点 $Q$．求证 $EP=EQ$．（俄罗斯） 2022-04-17 19:50:41
18472 5c86038f210b28428f14d50e 高中 解答题 自招竞赛 设 $A{H}_{1},B{H}_{2},C{H}_{3}$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的三条高．$\triangle ABC$ 的内切圆与边 $BC,CA,AB$ 分别相切与点 $T_1,T_2,T_3$．设直线 $l_1,l_2,l_3$ 分别是直线 $H_2H_3,H_3H_1,H_1H_2$ 关于直线 $T_2T_3,T_3T_1,T_1T_2$ 的对称直线．求证：$l_1,l_2,l_3$ 所确定的三角形其顶点都在 $\triangle ABC$ 的内切圆上．（俄罗斯） 2022-04-17 19:44:41
18465 5c8606e1210b28428f14d52d 高中 解答题 自招竞赛 两个圆 ${\Gamma}_{1}$ 和 ${\Gamma}_{2}$ 被包含 在圆 $\Gamma$ 内，且分别与 圆 $\Gamma$ 相切于两个不同的点 $M$ 和 $N$．${\Gamma}_{1}$ 经过 ${\Gamma}_{2}$ 的圆心，经过 ${\Gamma}_{1}$ 和 ${\Gamma}_{2}$ 的两个交点的直线与 $\Gamma$ 相交于点 $A$ 和 $B$．直线 $MA$ 和 $MB$ 分别与 $\Gamma_1$ 相交于点 $C$ 和 $D$．（俄罗斯） 2022-04-17 19:40:41
18463 5c860ce5210b28428f14d53e 高中 解答题 自招竞赛 在凸四边形 $ABCD$ 中，两对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直，两对边 $AB$ 和 $DC$ 不平行．点 $P$ 为 线段 $AB$ 及 $CD$ 的垂直平分线的交点，且 $P$ 在四边形 $ABCD$ 内部．求证：$ABCD$ 为圆内接四边形的充分条件是 $\triangle ABP$ 与 $\triangle CDP$ 的面积相等．（卢森堡） 2022-04-17 19:39:41
18459 5c860cff210b284290fc2b3a 高中 解答题 自招竞赛 设 $I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，并设 $\triangle ABC$ 的内切圆与三边 $BC,CA,AB$ 分别相切于 $K,L,M$，过点 $B$ 平行于 $MK$ 的直线分别交直线 $LM$ 及 $LK$ 于 点 $R$ 和 $S$．求证：$\angle RIS$ 是锐角．（乌克兰） 2022-04-17 19:37:41
18446 5c861724210b284290fc2b51 高中 解答题 自招竞赛 设 $\angle A$ 是 $\triangle ABC$ 中最小的角．点 $B$ 和 $C$ 将这个三角形的外接圆分成两段弧．设 $U$ 是落在不含 $A$ 的那段弧上且不等于 $B$ 与 $C$ 的一个点．线段 $AB$ 和 $AC$ 的垂直平分线分别交线段 $AU$ 于 $V$ 和 $W$．直线 $BV$ 和 $CW$ 相 交于 $T$．求证：$AU=TB+TC$．（英国） 2022-04-17 19:29:41
18444 5c862410210b28428f14d596 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，$\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC$．又设 $D、E$ 分别是 $\triangle APB$ 及 $\triangle APC$ 的内心，求证：$AP、BD、CE$ 交于一点．（加拿大） 2022-04-17 19:27:41
18441 5c862426210b28428f14d5a2 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCDEF$ 为凸六边形，且 $AB\parallel ED,BC\parallel EF,CD\parallel AF$．又设 $R_A、R_C、R_E$ 分别表示 $\triangle FAB、\triangle BCD、\triangle DEF$ 的外接圆半径，$P$ 表示六边形的周长．求证：${{R}_{A}}+{{R}_{C}}+{{R}_{E}}\geqslant \dfrac{P}{2}$．（亚美尼亚） 2022-04-17 19:26:41
18439 5c8713f0210b28428f14d5ac 高中 解答题 自招竞赛 设 $A、B、C、D$ 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以 $AC,BD$ 为直径的圆相交于 $X$ 和 $Y$，直线 $XY$ 交 $BC$ 于 $Z$．若 $P$ 为直线 $XY$ 上异于 $Z$ 的一点，直线 $CP$ 与以 $AC$ 为直径的圆交于 $C$ 及 $M$，直线 $BP$ 与以 $BD$ 为直径的圆相交于 $B$ 及 $N$，试证：$AM、DN、XY$ 三线共点．（保加利亚） 2022-04-17 19:25:41
18435 5c87140a210b284290fc2b76 高中 解答题 自招竞赛 设凸六边形 $ABCDEF$，满足 $AB=BC=CD,DE=EF=FA,\angle BCD=\angle EFA=60^\circ$．设 $G$ 和 $H$ 是这六边形内部的两点，使得 $\angle AGB=\angle DHE=120^\circ$．试证：$AG+GB+GH+DH+HE\geqslant CF$．（新西兰） 2022-04-17 19:22:41
18430 5c871731210b28428f14d5d1 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$．若
（1）$M$ 是 $BC$ 的中点，$O$ 是直线 $AM$ 上的点，使 $OB\perp AB$；
（2）$Q$ 是线段 $BC$ 上不同于 $B$ 和 $C$ 的任一点；
（3）$E$ 在直线 $AB$ 上，$F$ 在直线 $AC$ 上，$E、Q、F$ 共线．
求证：$OQ\perp EF$ 当且仅当 $QE=QF$．（亚美尼亚、澳大利亚）		 2022-04-17 19:19:41
18421 5c871c09210b28428f14d5f0 高中 解答题 自招竞赛 设 $D$ 是锐角三角形 $ABC$ 内部的一点，使 $\angle ADB=\angle ACB+90^\circ$，并有 $AC·BD$ = $AD·BC$
（$a$）计算比值 $\dfrac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}$；
（$b$）求证：$\triangle ACD$ 的外接圆和 $\triangle BCD$ 的外接圆在 $C$ 点的切线互相垂直．（英国）		 2022-04-17 19:14:41
18420 5c871c20210b28428f14d5fc 高中 解答题 自招竞赛 对于平面上任意三点 $P、Q、R$，定义 $m(PQR)$ 为 $\triangle PQR$ 最短高的长度（当 $P、Q、R$ 共线时，$m(PQR)=0$）．今设 $A,B,C$ 为平面上三点，对此平面上任意一点 $X$，求证：$m(ABC)\leqslant m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)$．（马其顿） 2022-04-17 19:14:41
18409 5c872102210b284290fc2bb0 高中 解答题 自招竞赛 在一个平面中，$C$ 为一个圆周，直线 $L$ 是圆周的一条 的切线，$M$ 为 $L$ 上一点，试求出具有如下性质的所有点 $P$ 的集合：在 直线 $L$ 上存在两点 $Q$ 和 $R$，使得 $M$ 是线段 $QR$ 的中点，且 $C$ 是 $\triangle PQR$ 的内切圆．（法国） 2022-04-17 19:08:41
18406 5c872527210b28428f14d620 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$，设 $I$ 是它的内心，$\angle A,\angle B,\angle C$ 的内角平分线分别交其对边交于 $A^\prime、B^\prime、C^\prime$．求证：$\dfrac{1}{4}<\dfrac{AI\cdot BI\cdot CI}{A{A}^\prime\cdot B{B}^\prime\cdot C{C}^\prime}\leqslant \dfrac{8}{27}$．（苏联） 2022-04-17 19:06:41
18401 5c872542210b28428f14d633 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，求证：$\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA$ 至少有一个小于或等于 $30^\circ$．（法国） 2022-04-17 19:03:41
18397 5c872c7d210b284290fc2bce 高中 解答题 自招竞赛 设圆内两弦 $AB,CD$ 交于圆内一点 $E$，在直线段 $EB$ 的内部取一点 $M$，然后过点 $D、E、M$ 作圆，再过 $E$ 作此圆的切线分别交直线 $BC,AC$ 于点 $F,G$．若已知 $\dfrac{AM}{AB}=t$，试用 $t$ 表示 $\dfrac{EG}{EF}$．（印度） 2022-04-17 19:00:41
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