设 $ABCDEF$ 为凸六边形，且 $AB\parallel ED,BC\parallel EF,CD\parallel AF$．又设 $R_A、R_C、R_E$ 分别表示 $\triangle FAB、\triangle BCD、\triangle DEF$ 的外接圆半径，$P$ 表示六边形的周长．求证：${{R}_{A}}+{{R}_{C}}+{{R}_{E}}\geqslant \dfrac{P}{2}$．（亚美尼亚）
【难度】
【出处】
1996年第37届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记边 $AB,BC,\cdots,FA$ 长度为 $a,b,c,d,e,f$，又以 $\angle A,\angle B,\cdots,\angle F$ 表示六边形各内角，由对边平行，$\angle A=\angle D,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F$．
设 $BC$ 与 $EF$ 的距离为 $h$，$A$ 到 $BC,EF$ 的距离分别为 $a\sin B$ 和 $f\sin F$．同理 $h=c\sin C+d\sin E$，因此 $2BF\geqslant 2h=a\sin B+f\sin F+c\sin C+d\sin E$．
类似可得
$2DF\geqslant a\sin A+b\sin C+d\sin D+e\sin F$
$2BD\geqslant f\sin A+e\sin E+b\sin B+c\sin D$
所以
$\begin{aligned}
&R_A+R_C+R_E=\frac{1}{4}\left(\frac{2BF}{\sin C}+\frac{2BD}{\sin A}+\frac{2DF}{\sin E}\right)\\
&\geqslant \frac{1}{4}\left[a\left(\frac{\sin B}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin E}\right)+b\left(\frac{\sin B}{\sin C}+\frac{\sin C}{\sin E}\right)+c\left(\frac{\sin C}{\sin A}+\frac{\sin D}{\sin C}\right)+d\left(\frac{\sin E}{\sin A}+\frac{\sin D}{\sin E}\right)+e\left(\frac{\sin E}{\sin C}+\frac{\sin F}{\sin E}\right)+f\left(\frac{\sin F}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin C}\right)\right]
\end{aligned}$
考虑到 $\angle A=\angle D,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F$，上式每一小括号中的和均 $\geqslant 2$．
于是，$R_A+R_C+R_E\geqslant\dfrac{1}{4}(2a+2b+2c+2d+2e+2f)=\dfrac{p}{2}$．
设 $BC$ 与 $EF$ 的距离为 $h$，$A$ 到 $BC,EF$ 的距离分别为 $a\sin B$ 和 $f\sin F$．同理 $h=c\sin C+d\sin E$，因此 $2BF\geqslant 2h=a\sin B+f\sin F+c\sin C+d\sin E$．
类似可得
$2DF\geqslant a\sin A+b\sin C+d\sin D+e\sin F$
$2BD\geqslant f\sin A+e\sin E+b\sin B+c\sin D$
所以
$\begin{aligned}
&R_A+R_C+R_E=\frac{1}{4}\left(\frac{2BF}{\sin C}+\frac{2BD}{\sin A}+\frac{2DF}{\sin E}\right)\\
&\geqslant \frac{1}{4}\left[a\left(\frac{\sin B}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin E}\right)+b\left(\frac{\sin B}{\sin C}+\frac{\sin C}{\sin E}\right)+c\left(\frac{\sin C}{\sin A}+\frac{\sin D}{\sin C}\right)+d\left(\frac{\sin E}{\sin A}+\frac{\sin D}{\sin E}\right)+e\left(\frac{\sin E}{\sin C}+\frac{\sin F}{\sin E}\right)+f\left(\frac{\sin F}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin C}\right)\right]
\end{aligned}$
考虑到 $\angle A=\angle D,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F$，上式每一小括号中的和均 $\geqslant 2$．
于是，$R_A+R_C+R_E\geqslant\dfrac{1}{4}(2a+2b+2c+2d+2e+2f)=\dfrac{p}{2}$．
答案
解析
备注
