对于平面上任意三点 $P、Q、R$，定义 $m(PQR)$ 为 $\triangle PQR$ 最短高的长度（当 $P、Q、R$ 共线时，$m(PQR)=0$）．今设 $A,B,C$ 为平面上三点，对此平面上任意一点 $X$，求证：$m(ABC)\leqslant m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)$．（马其顿）
【难度】
【出处】
1993年第34届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a=BC,b=CA,c=BA,p=AX,q=BX,r=CX$．显然，一个三角形的最小高是最大边上的高．
下面分两种情况
（1）若 $\max(a,b,c,p,q,r)\in\{a,b,c\}$，不妨设 $\max(a,b,c,p,q,r)=a$，则
$\begin{aligned}
m(ABC)&=\dfrac{2}{a}S_{\triangle ABC}\\
&\leqslant \frac{2}{a}(S_{\triangle ABX}+S_{\triangle AXC}+S_{\triangle XBC})\\
&\leqslant \frac{2S_{\triangle ABX}}{\max(c,p,q)}+\frac{2S_{\triangle AXC}}{\max(b,r,p)}+\frac{2S_{\triangle XBC}}{\max(a,q,r)}\\
&=m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)
\end{aligned}$
（2）若 $\max(a,b,c,p,q,r)\in\{p,q,r\}$，不妨设 $\max(a,b,c,p,q,r)=p$．
不妨设 $b\leqslant c$，于是有
$\begin{aligned}
m(ABC)&\leqslant b\sin\angle BAC\\
&=b|\sin(\angle BAX\pm\angle CAX)|\\
&=b|\sin\angle BAX\cos\angle CAX\pm\sin\angle CAX\cos\angle BAX|\\
&\leqslant b(|\sin\angle BAX|+|\sin\angle CAX|)\\
&\leqslant c|\sin\angle BAX|+b|\sin\angle CAX|\\
&=m(ABX)+m(ACX)\\
&\leqslant m(ABX)+m(AXC)+m(ABC)
\end{aligned}$
下面分两种情况
（1）若 $\max(a,b,c,p,q,r)\in\{a,b,c\}$，不妨设 $\max(a,b,c,p,q,r)=a$，则
$\begin{aligned}
m(ABC)&=\dfrac{2}{a}S_{\triangle ABC}\\
&\leqslant \frac{2}{a}(S_{\triangle ABX}+S_{\triangle AXC}+S_{\triangle XBC})\\
&\leqslant \frac{2S_{\triangle ABX}}{\max(c,p,q)}+\frac{2S_{\triangle AXC}}{\max(b,r,p)}+\frac{2S_{\triangle XBC}}{\max(a,q,r)}\\
&=m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)
\end{aligned}$
（2）若 $\max(a,b,c,p,q,r)\in\{p,q,r\}$，不妨设 $\max(a,b,c,p,q,r)=p$．
不妨设 $b\leqslant c$，于是有
$\begin{aligned}
m(ABC)&\leqslant b\sin\angle BAC\\
&=b|\sin(\angle BAX\pm\angle CAX)|\\
&=b|\sin\angle BAX\cos\angle CAX\pm\sin\angle CAX\cos\angle BAX|\\
&\leqslant b(|\sin\angle BAX|+|\sin\angle CAX|)\\
&\leqslant c|\sin\angle BAX|+b|\sin\angle CAX|\\
&=m(ABX)+m(ACX)\\
&\leqslant m(ABX)+m(AXC)+m(ABC)
\end{aligned}$
答案
解析
备注
