已知 $\triangle ABC$，设 $I$ 是它的内心，$\angle A,\angle B,\angle C$ 的内角平分线分别交其对边交于 $A^\prime、B^\prime、C^\prime$．求证：$\dfrac{1}{4}<\dfrac{AI\cdot BI\cdot CI}{A{A}^\prime\cdot B{B}^\prime\cdot C{C}^\prime}\leqslant \dfrac{8}{27}$．（苏联）
【难度】
【出处】
1991年第32届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $BC=a,CA=b,AB=c$，易知 $\dfrac{AI}{A^\prime I}=\dfrac{b+c}{a}$
于是 $\dfrac{AI}{A^\prime I}=\dfrac{b+c}{a+b+c}$
同理 $\dfrac{BI}{B^\prime B}=\dfrac{c+a}{a+b+c},\dfrac{CI}{C^\prime C}=\dfrac{a+b}{a+b+c}$
因此问题等价于证明 $\dfrac{1}{4}<\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}\leqslant\dfrac{8}{27}$ ①
由算术-几何平均不等式，得
$(a+b)(b+c)(c+a)\leqslant \left(\dfrac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}(a+b+c)^3$
即 ① 式右边成立（等号成立仅当 $a=b=c$）．
又因为三角形两边之和大于第三边，所以
$\dfrac{a+b}{a+b+c},\dfrac{b+c}{a+b+c},\dfrac{c+a}{a+b+c}$ 均大于 $\dfrac{1}{2}$．
令
$\dfrac{a+b}{a+b+c}=\dfrac{1+\varepsilon_1}{2}$
$\dfrac{b+c}{a+b+c}=\dfrac{1+\varepsilon_2}{2}$
$\dfrac{c+a}{a+b+c}=\dfrac{1+\varepsilon_3}{2}$
其中 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 均为正数，且易知 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3=1$，于是
$\begin{aligned}
\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}&=\frac{(1+\varepsilon_1)(1+\varepsilon_2)(1+\varepsilon_3)}{8}\\
&>\frac{1+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3}{8}\\
&=\frac{1}{4}
\end{aligned}$
即 ① 式左边成立．
于是 $\dfrac{AI}{A^\prime I}=\dfrac{b+c}{a+b+c}$
同理 $\dfrac{BI}{B^\prime B}=\dfrac{c+a}{a+b+c},\dfrac{CI}{C^\prime C}=\dfrac{a+b}{a+b+c}$
因此问题等价于证明 $\dfrac{1}{4}<\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}\leqslant\dfrac{8}{27}$ ①
由算术-几何平均不等式，得
$(a+b)(b+c)(c+a)\leqslant \left(\dfrac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}(a+b+c)^3$
即 ① 式右边成立（等号成立仅当 $a=b=c$）．
又因为三角形两边之和大于第三边，所以
$\dfrac{a+b}{a+b+c},\dfrac{b+c}{a+b+c},\dfrac{c+a}{a+b+c}$ 均大于 $\dfrac{1}{2}$．
令
$\dfrac{a+b}{a+b+c}=\dfrac{1+\varepsilon_1}{2}$
$\dfrac{b+c}{a+b+c}=\dfrac{1+\varepsilon_2}{2}$
$\dfrac{c+a}{a+b+c}=\dfrac{1+\varepsilon_3}{2}$
其中 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 均为正数，且易知 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3=1$，于是
$\begin{aligned}
\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}&=\frac{(1+\varepsilon_1)(1+\varepsilon_2)(1+\varepsilon_3)}{8}\\
&>\frac{1+\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3}{8}\\
&=\frac{1}{4}
\end{aligned}$
即 ① 式左边成立．
答案
解析
备注
