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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18975 5d522133210b280220ed79aa 高中 解答题 自招竞赛 求出最大的正数 $\lambda$，使得对于满足 $x^2+y^2+z^2=1$ 的任何实数 $x,y,z$ 成立不等式：$|\lambda xy+yz|\leqslant\dfrac{\sqrt{5}}{2}$． 2022-04-17 19:27:46
18968 5d525336210b28021fc79997 高中 解答题 自招竞赛 试求实数 $a$ 的个数，使得对于每个 $a$，关于 $x$ 的三次方程 $x^3=ax+a+1$ 都有满足 $|x|<1000$ 的偶数根． 2022-04-17 19:23:46
18966 5d526756210b28021fc799b3 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_i=\min\left\{k+\dfrac{i}{k}|k\in\mathbf{N}^{\ast}\right\}$，试求 $S_n^2=[a_1]+[a_2]+\cdots+[a_n^2]$ 的值，其中 $n\geqslant 2$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数． 2022-04-17 19:22:46
18964 5d5275fc210b28021fc799ca 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)$ 满足：$f(x+1)-f(x)=2x+1(x\in\mathbf{R})$，且当 $x\in[0,1]$ 时有 $|f(x)|\leqslant 1$，证明：当 $x\in\mathbf{R}$ 时，有 $|f(x)|\leqslant 2+x^2$． 2022-04-17 19:21:46
18961 5d537606210b28021fc79a06 高中 解答题 自招竞赛 设正实数 $a,b,c$ 满足：$abc=1$，求证：对于整数 $k\geqslant 2$，有 $\dfrac{a^k}{a+b}+\dfrac{b^k}{b+c}+\dfrac{c^k}{c+a}\geqslant\dfrac{3}{2}$． 2022-04-17 19:19:46
18959 5d537b73210b280220ed7aab 高中 解答题 自招竞赛 设 $a>b>0,f(x)=\dfrac{2(a+b)x+2ab}{4x+a+b}$．证明：存在唯一的正数 $x$，使得 $f(x)=\left(\dfrac{a^\frac{1}{3}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3$． 2022-04-17 19:18:46
18956 5d53b8bd210b28021fc79a42 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $n$，设 $a_n$ 是方程 $x^3+\dfrac{x}{n}=1$ 的实数根，求证：
（1）$a_{n+1}>a_n$；
（2）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{(i+1)^2a_i}<a_n$．		 2022-04-17 19:16:46
18954 5d53c1ed210b280220ed7b04 高中 解答题 自招竞赛 求最小的实数 $m$，使得对于满足 $a+b+c=1$ 的任意正实数 $a,b,c$，都有 $m(a^3+b^3+c3)\geqslant 6(a^2+b^2+c^2)+1$． 2022-04-17 19:15:46
18953 5d53c788210b28021fc79a67 高中 解答题 自招竞赛 （1）求不定方程 $mn+nr+mr=2(m+n+r)$ 的正整数解 $(m,n,r)$ 的组数；
（2）对于给定的整数 $k>1$，证明：不定方程 $mn+nr+mr=k(m+n+r)$ 至少有 $3k+1$ 组正整数解 $(m,n,r)$．		 2022-04-17 19:14:46
18914 5d54be9a210b28021fc79ad3 高中 解答题 自招竞赛 （1）设 $a\in \mathbf{R}$，求证抛物线 $y=x^2+(a+2)x-2a+1$ 都经过一个定点，且顶点都落在一条抛物线上．
（2）若关于 $x$ 的方程 $x^2+(a+2)x-2a+1=0$ 有两个不等实根，求其较大根的取值范围．		 2022-04-17 19:52:45
18908 5d5504e1210b28021fc79b5d 高中 解答题 自招竞赛 （1）讨论关于 $x$ 的方程 $|x+1|+|x+2|+|x+3|=a$ 的根的个数．
（2）设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为等差数列，且
$\begin{aligned}
&|a_1|+|a_1|+\cdots+|a_1|\\
=&|a_1+1|+|a_2+1|+\cdots+|a_n+1|\\
=&|a_1-2|+|a_2-2|+\cdots+|a_n-2|=507
\end{aligned}$
求项数 $n$ 的最大值．		 2022-04-17 19:50:45
18907 5d550aad210b28021fc79b67 高中 解答题 自招竞赛 设 $0<\alpha,\beta,\gamma<\dfrac{\pi}{2}$，且 $\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma=1$，求证：$\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\tan^2\gamma\geqslant\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$． 2022-04-17 19:50:45
18872 5d551f04210b280220ed7c8d 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+2b^2+3c^2=\dfrac{3}{2}$，求证：$3^{-a}+9^{-b}+27^{-c}\geqslant 1$． 2022-04-17 19:30:45
18870 5d55354e210b28021fc79b98 高中 解答题 自招竞赛 （1）是否存在正整数的无穷数列 $\{a_n\}$，使得对任意的正整数 $n$ 都有 $a_{n+1}^2\geqslant 2a_na_{n+2}$？
（2）是否存在正无理数的无穷数列 $\{a_n\}$ 使得对任意的正整数 $n$ 都有 $a_{n+1}^2\geqslant 2a_na_{n+2}$？		 2022-04-17 19:29:45
18868 5d56227d210b280220ed7d34 高中 解答题 自招竞赛 已知不等式 $\sqrt{2}(2a+3)\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)+\dfrac{6}{\sin\theta+\cos\theta}-2\sin 2\theta<3a+6$ 对于 $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 19:28:45
18846 5d47bf70210b280220ed71ff 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于任意的 $n$ 次实系数多项式 $f$，都存在 $n$ 次实系数多项式 $g$，使得 $|g|^2=1+|f|^2$ 对单位圆上的 $z$ 都成立． 2022-04-17 19:13:45
18844 5d49234d210b280220ed7428 高中 解答题 自招竞赛 $a_{1}, a_{2} \cdots a_{n} \in R^{+}$，定义 $\displaystyle \sigma\left(a_{1}, a_{2},\cdots,a_{n}\right)=\min \left\{\left|\sum\limits_{i=1}^{n} e_{i} a_{i}\right|, e_{i} \in\{-1,1\}, i \in\{1,2 \cdots n\}\right\}$．求最小的正实数 $\lambda$，对任意 $a_{1}, a_{2} \cdots a_{n}$，都有 $\displaystyle \sigma\left(a_{1}, a_{2} \cdots a_{n}\right) \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \leqslant \lambda \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$． 2022-04-17 19:12:45
18838 5d566eb8210b280220ed7d90 高中 解答题 自招竞赛 求所有整数 $n\geqslant 3$，使得存在实数 $a_1,a_2,\cdots,a_{n+2}$，满足 $a_{n+1}=a_1,a_{n+2}=a_2$，并且对 $i=1,2,\cdots,n$，都有 $a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}$．（斯洛伐克） 2022-04-17 19:08:45
18833 59bb3db177c760000717e40a 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $a_0>1$，按以下方式定义数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbb N$）：\[a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n},&\sqrt{a_n}\in \mathbb Z,\\ a_n+3,& \sqrt{a_n}\notin \mathbb Z,\end{cases}\]求所有的 $a_0$ 的值，使得存在 $A$ 满足 $a_n=A$ 对无穷多个 $n$ 成立．（南非） 2022-04-17 19:05:45
18832 59bb3db177c760000717e40c 高中 解答题 自招竞赛 设 $\mathbb R$ 为实数集，求所有的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，使得对任意的实数 $x,y\in\mathbb R$，都有 $f(f(x)\cdot f(y))+f(x+y)=f(xy)$．（阿尔巴尼亚） 2022-04-17 19:04:45
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