设实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+2b^2+3c^2=\dfrac{3}{2}$，求证：$3^{-a}+9^{-b}+27^{-c}\geqslant 1$．
【难度】
【出处】
2004中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式，$(a+2b+3c)^2\leqslant (\sqrt{1}^2+\sqrt{2}^2+\sqrt{3}^2)[(\sqrt{1}a)^2+(\sqrt{2}b)^2+(\sqrt{3}c)^2]=9$，所以 $a+2b+3c\leqslant 3$，所以 $3^{-a}+9^{-b}+27^{-c}\geqslant 3\sqrt[3]{3^{-(a+2b+3c)}}\geqslant 3\sqrt[3]{3^{-3}}=1$．
答案
解析
备注
