设正实数 $a,b,c$ 满足：$abc=1$，求证：对于整数 $k\geqslant 2$，有 $\dfrac{a^k}{a+b}+\dfrac{b^k}{b+c}+\dfrac{c^k}{c+a}\geqslant\dfrac{3}{2}$．
【难度】
【出处】
2007中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $\dfrac{a^k}{a+b}+\dfrac{1}{4}(a+b)+\underbrace{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2}}_{k-2个\frac{1}{2}}\geqslant k\cdot\sqrt[k]{\dfrac{a^k}{2^k}}=\dfrac{k}{2}a$；
所以 $\dfrac{a^k}{a+b}\geqslant \dfrac{k}{2}a-\dfrac{1}{4}(a+b)-\dfrac{k-2}{2}$．
同理可得 $\dfrac{b^k}{b+c}\geqslant\dfrac{k}{2}b-\dfrac{1}{4}(b+c)-\dfrac{k-2}{2}\cdot\dfrac{c^k}{c+a}\geqslant\dfrac{k}{2}c-\dfrac{1}{4}(c+a)-\dfrac{k-2}{2}$．
三式相加可得
$\dfrac{a^k}{a+b}+\dfrac{b^k}{b+c}+\dfrac{c^k}{c+a}\geqslant\dfrac{k}{2}(a+b+c)-\dfrac{1}{2}(a+b+c)-\dfrac{3}{2}(k-2)=\dfrac{(k-1)}{2}(a+b+c)-\dfrac{3}{2}(k-2)\geqslant\dfrac{3}{2}(k-1)-\dfrac{3}{2}(k-2)=\dfrac{3}{2}$
所以 $\dfrac{a^k}{a+b}\geqslant \dfrac{k}{2}a-\dfrac{1}{4}(a+b)-\dfrac{k-2}{2}$．
同理可得 $\dfrac{b^k}{b+c}\geqslant\dfrac{k}{2}b-\dfrac{1}{4}(b+c)-\dfrac{k-2}{2}\cdot\dfrac{c^k}{c+a}\geqslant\dfrac{k}{2}c-\dfrac{1}{4}(c+a)-\dfrac{k-2}{2}$．
三式相加可得
$\dfrac{a^k}{a+b}+\dfrac{b^k}{b+c}+\dfrac{c^k}{c+a}\geqslant\dfrac{k}{2}(a+b+c)-\dfrac{1}{2}(a+b+c)-\dfrac{3}{2}(k-2)=\dfrac{(k-1)}{2}(a+b+c)-\dfrac{3}{2}(k-2)\geqslant\dfrac{3}{2}(k-1)-\dfrac{3}{2}(k-2)=\dfrac{3}{2}$
答案
解析
备注
