已知不等式 $\sqrt{2}(2a+3)\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)+\dfrac{6}{\sin\theta+\cos\theta}-2\sin 2\theta<3a+6$ 对于 $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2004中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\sin\theta+\cos\theta=x$，则 $\cos\left(0-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x,\sin 2\theta=x^2-1,x\in[1,\sqrt{2}]$．
从而原不等式可化为 $(2a+3)x+\dfrac{6}{x}-2(x^2-1)<3a+6$
即
$\begin{aligned}
&2x^2-2ax-3x-\dfrac{6}{x}+3a+4>0\\
&2x\left(x+\dfrac{2}{x}-a\right)-3\left(x\dfrac{2}{x}-a\right)>0\\
&(2x-3)\left(x+\dfrac{2}{x}-a\right)>0(x\in[1,\sqrt{2}])
\end{aligned}$ ①
所以原不等式等价于不等式 ①．
因为 $x\in[1,\sqrt{2}]$，所以 $2x-3<0$．从而不等式 ① 恒成立等价于 $x+\dfrac{2}{x}-a<0(x\in[1,\sqrt{2}])$ 恒成立．因此只要
$a>\left(x+\dfrac{2}{x}\right)_{\max}(x\in[1,\sqrt{2}])$．
又容易知道 $f(x)=x+\dfrac{2}{x}$ 在 $[1,\sqrt{2}]$ 上递减，所以
$\left(x+\dfrac{2}{x}\right)_{\max}=3(x\in[1,\sqrt{2}])$
所以 $a>3$．
从而原不等式可化为 $(2a+3)x+\dfrac{6}{x}-2(x^2-1)<3a+6$
即
$\begin{aligned}
&2x^2-2ax-3x-\dfrac{6}{x}+3a+4>0\\
&2x\left(x+\dfrac{2}{x}-a\right)-3\left(x\dfrac{2}{x}-a\right)>0\\
&(2x-3)\left(x+\dfrac{2}{x}-a\right)>0(x\in[1,\sqrt{2}])
\end{aligned}$ ①
所以原不等式等价于不等式 ①．
因为 $x\in[1,\sqrt{2}]$，所以 $2x-3<0$．从而不等式 ① 恒成立等价于 $x+\dfrac{2}{x}-a<0(x\in[1,\sqrt{2}])$ 恒成立．因此只要
$a>\left(x+\dfrac{2}{x}\right)_{\max}(x\in[1,\sqrt{2}])$．
又容易知道 $f(x)=x+\dfrac{2}{x}$ 在 $[1,\sqrt{2}]$ 上递减，所以
$\left(x+\dfrac{2}{x}\right)_{\max}=3(x\in[1,\sqrt{2}])$
所以 $a>3$．
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解析
备注
