$a_{1}, a_{2} \cdots a_{n} \in R^{+}$，定义 $\displaystyle \sigma\left(a_{1}, a_{2},\cdots,a_{n}\right)=\min \left\{\left|\sum\limits_{i=1}^{n} e_{i} a_{i}\right|, e_{i} \in\{-1,1\}, i \in\{1,2 \cdots n\}\right\}$．求最小的正实数 $\lambda$，对任意 $a_{1}, a_{2} \cdots a_{n}$，都有 $\displaystyle \sigma\left(a_{1}, a_{2} \cdots a_{n}\right) \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \leqslant \lambda \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$．
【难度】
【出处】
2019北大数学科学夏令营
【标注】
【答案】
略
【解析】
任取正数 $\epsilon<\dfrac{1}{n}$．取 $ a_1 = 1,a_2 = a_3 = \cdots = a_n = \epsilon$．则 $\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_n)= 1 −(n − 1)\epsilon$．故
有
$(1 −(n − 1)\epsilon)(1 +(n − 1)\epsilon)\leqslant \lambda(1 +(n − 1)\epsilon^2)\Leftrightarrow \lambda \geqslant 1 −\dfrac{n(n − 1)\epsilon^2}{1 +(n − 1)\epsilon^2}$
令 $\epsilon \rightarrow 0^+$ 知 $\lambda \geqslant 1$．下面证明 $\lambda$ 最小值是 $1$．
不妨假设 $ a_1 \geqslant a_2 \geqslant a_3 \geqslant \cdots \geqslant a_n > 0$．我们考虑一种选择 $ e_i$ 的方法：取 $e_1 = 1$，若前 $k$ 项
和 $\displaystyle S_k =\sum\limits_{i=1}^ke_ia_i\geqslant 0$，那么取 $ e_{k+1} = −1$．反之，若前 $ k$ 项和 $\displaystyle S_k =\sum\limits_{i=1}^ke_ia_i< 0$，那么取 $ e_{k+1} = 1$．由 $\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的定义知，$\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_n)\leqslant |Sn|$．
若 $S_n = 0$，则命题显然成立．下设 $S_n \ne 0$．
若对所有 $ i = 1,2,\cdots,n$，有 $ S_iS_n \geqslant 0$ 成立．则 $S_1 > 0,S_1S_n \geqslant 0\Rightarrow S_n > 0$．这表
明 $S_i \geqslant 0 \Rightarrow S_{i+1} = S_i − a_{i+1},i = 1,2,\cdots,n − 1$．
$\begin{aligned}
&\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_n)(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&\leqslant S_n(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&= a^2_1 −(a_2 + a_3 + \cdots + a_n)^2\\
&\leqslant a_1 + a_2 + \cdots + a_n\\
\end{aligned}$
此时成立．
若存在一个 $ i$ 满足 $S_iS_n < 0$，我们取 $ m $ 是满足 $S_iS_n < 0$ 的 $i$ 里最大的那个．则 $ 1 \leqslant m < n$．我们有 $|S_{m+1} − S_{m}| = a_{m+1},S_mS_{m+1} \leqslant 0\Rightarrow |S_{m+1}| + |S_m| = a_{m+1}$．故 $ |S_{m+1}| \leqslant a_{m+1}$．
并且对于 $ m < i < n$，由于 $S_iS_{i+1} ≥\geqslant 0$，由 $ e_{i+1}$ 的选取规则知，$|S_{i+1}| = |S_i| − a_{i+1}$．故
$\displaystyle |S_n| = |S_{m+1}| −\sum\limits_{m+1<k\leqslant n}a_k$．
（这里，若 $m + 1 \geqslant n$，则和式 $\displaystyle \sum\limits_{m+1<k\leqslant n}a_k = 0$．）
$\begin{aligned}
&\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_n)(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&\leqslant |S_n|(a_1 + a_2 + \cdots+ a_n)\\
&=\left( |S_{m+1}| −\sum_{m+1<k≤n}a_k\right)(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&\leqslant \left(a_{m+1} −\sum_{m+1<k≤n}a_k\right)(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&=\left( a_{m+1} −\sum_{m+1<k\leqslant n}a_k\right)\left(
\sum_{1\leqslant k\leqslant m+1}a_k +＼sum_{m+1<k\leqslant n}a_k\right)\\
&= a_{m+1}\left(\sum_{1\leqslant k\leqslant m+1}a_k\right) −\left(\sum_{m+1<k\leqslant n}a_k\right) \left(\sum_{1\leqslant k\leqslant m}a_k\right)−
\left(\sum_{m+1< k\leqslant n}a_k\right)^2\\
&\leqslant a_{m+1}(a_1 + a_2 + \cdots + a_{m+1})\\
&\leqslant a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{m+1}^2\\
&\leqslant a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{n}^2
\end{aligned}$
故 $\lambda $ 最小值是 $1$．
有
$(1 −(n − 1)\epsilon)(1 +(n − 1)\epsilon)\leqslant \lambda(1 +(n − 1)\epsilon^2)\Leftrightarrow \lambda \geqslant 1 −\dfrac{n(n − 1)\epsilon^2}{1 +(n − 1)\epsilon^2}$
令 $\epsilon \rightarrow 0^+$ 知 $\lambda \geqslant 1$．下面证明 $\lambda$ 最小值是 $1$．
不妨假设 $ a_1 \geqslant a_2 \geqslant a_3 \geqslant \cdots \geqslant a_n > 0$．我们考虑一种选择 $ e_i$ 的方法：取 $e_1 = 1$，若前 $k$ 项
和 $\displaystyle S_k =\sum\limits_{i=1}^ke_ia_i\geqslant 0$，那么取 $ e_{k+1} = −1$．反之，若前 $ k$ 项和 $\displaystyle S_k =\sum\limits_{i=1}^ke_ia_i< 0$，那么取 $ e_{k+1} = 1$．由 $\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的定义知，$\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_n)\leqslant |Sn|$．
若 $S_n = 0$，则命题显然成立．下设 $S_n \ne 0$．
若对所有 $ i = 1,2,\cdots,n$，有 $ S_iS_n \geqslant 0$ 成立．则 $S_1 > 0,S_1S_n \geqslant 0\Rightarrow S_n > 0$．这表
明 $S_i \geqslant 0 \Rightarrow S_{i+1} = S_i − a_{i+1},i = 1,2,\cdots,n − 1$．
$\begin{aligned}
&\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_n)(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&\leqslant S_n(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&= a^2_1 −(a_2 + a_3 + \cdots + a_n)^2\\
&\leqslant a_1 + a_2 + \cdots + a_n\\
\end{aligned}$
此时成立．
若存在一个 $ i$ 满足 $S_iS_n < 0$，我们取 $ m $ 是满足 $S_iS_n < 0$ 的 $i$ 里最大的那个．则 $ 1 \leqslant m < n$．我们有 $|S_{m+1} − S_{m}| = a_{m+1},S_mS_{m+1} \leqslant 0\Rightarrow |S_{m+1}| + |S_m| = a_{m+1}$．故 $ |S_{m+1}| \leqslant a_{m+1}$．
并且对于 $ m < i < n$，由于 $S_iS_{i+1} ≥\geqslant 0$，由 $ e_{i+1}$ 的选取规则知，$|S_{i+1}| = |S_i| − a_{i+1}$．故
$\displaystyle |S_n| = |S_{m+1}| −\sum\limits_{m+1<k\leqslant n}a_k$．
（这里，若 $m + 1 \geqslant n$，则和式 $\displaystyle \sum\limits_{m+1<k\leqslant n}a_k = 0$．）
$\begin{aligned}
&\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_n)(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&\leqslant |S_n|(a_1 + a_2 + \cdots+ a_n)\\
&=\left( |S_{m+1}| −\sum_{m+1<k≤n}a_k\right)(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&\leqslant \left(a_{m+1} −\sum_{m+1<k≤n}a_k\right)(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\\
&=\left( a_{m+1} −\sum_{m+1<k\leqslant n}a_k\right)\left(
\sum_{1\leqslant k\leqslant m+1}a_k +＼sum_{m+1<k\leqslant n}a_k\right)\\
&= a_{m+1}\left(\sum_{1\leqslant k\leqslant m+1}a_k\right) −\left(\sum_{m+1<k\leqslant n}a_k\right) \left(\sum_{1\leqslant k\leqslant m}a_k\right)−
\left(\sum_{m+1< k\leqslant n}a_k\right)^2\\
&\leqslant a_{m+1}(a_1 + a_2 + \cdots + a_{m+1})\\
&\leqslant a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{m+1}^2\\
&\leqslant a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{n}^2
\end{aligned}$
故 $\lambda $ 最小值是 $1$．
答案
解析
备注
