2017年第58届IMO试题

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  二试代数部分

$f(x)=0$，$f(x)=-x+1$ 和 $f(x)=x-1$

首先计算 $f(0)$ 的值．设 $f(0)=k$，在题中方程中令 $y=0$，可得\[f(kf(x))+f(x)=k.\]情形一 $k=0$．此时可得 $f(x)=0$．
情形二 $k\ne 0$．此时有 $f(0)\ne 0$．在题中方程中令 $y=\dfrac{x}{x-1}$（$x\ne 1$），可得\[f\left(f(x)\cdot f\left(\dfrac x{x-1}\right)\right)=0,x\ne 1.\]因此必然存在 $x_0\in\mathbb R^{\ast}$，使得 $f(x_0)=0$．若 $x_0\ne 1$，则在上式中令 $x=x_0$，可得 $f(0)=0$，矛盾；因此 $x_0=1$．这样就有当且仅当 $x=1$ 时，$f(x)=0$．在题中方程中令 $x=y=0$，可得\[f\left(k^2\right)=0,\]于是 $k=\pm 1$．
情形二 $(1)$  $k=1$．在题中方程中令 $y=1$，可得\[1+f(x+1)=f(x),\]结合 $f(0)=1$，可得 $f(n)=-n+1$ 且 $f(x+n)=f(x)-n$，其中 $n\in\mathbb Z$．
接下来证明 $f$ 是单射．在题中方程左右两边同减 $n+1$，可得\[f(f(x)\cdot f(y)+1)+f(x+y+n)=f(xy+n+1).\]若 $f(a)=f(b)$，必然存在整数 $n$ 以及实数 $x,y$ 使得\[\begin{cases}x+y+n=a,\\ xy+n+1=b,\end{cases}\]其中\[(a-n)^2-4(b-n-1)\geqslant 0.\]此时有\[f(f(x)\cdot f(y)+1)=0,\]于是\[f(x)\cdot f(y)+1=1,\]从而 $x=1$ 或 $y=1$．不妨设 $y=1$，则\[a=b=x+n+1,\]因此 $f$ 是单射．
在题中方程令 $y=0$，可得\[f(f(x))+f(x)=1,\]于是\[f(f(f(x)))=f(1-f(x)),\]且\[f(f(f(x)))=1-f(f(x))=1-(1-f(x))=f(x),\]于是\[1-f(x)=f(f(x))=x,\]从而 $f(x)=-x+1$．
情形二 $(2)$  $k=-1$．在题中方程中令 $y=1$，可得\[-1+f(x+1)=f(x),\]结合 $f(0)=-1$，可得 $f(n)=n-1$ 且 $f(x+n)=f(x)+n$，其中 $n\in\mathbb Z$．
接下来证明 $f$ 是单射．在题中方程左右两边同加 $n+1$，可得\[f(f(x)\cdot f(y)+1)+f(x+y+n)=f(xy+n+1),\]与情形二 $(1)$ 类似，可证得．
在题中方程令 $y=0$，可得\[f(-f(x))+f(x)=-1,\]于是\[f(-f(-f(x)))=f(f(x)+1),\]且\[f(-f(-f(x)))=-1-f(-f(x))=-1-(-1-f(x))=f(x),\]于是\[f(x)+1=x,\]从而 $f(x)=x-1$．
综合以上情形可得，所有符合题意的函数有 $f(x)=0$，$f(x)=-x+1$ 和 $f(x)=x-1$．