（1）求不定方程 $mn+nr+mr=2(m+n+r)$ 的正整数解 $(m,n,r)$ 的组数；
（2）对于给定的整数 $k>1$，证明：不定方程 $mn+nr+mr=k(m+n+r)$ 至少有 $3k+1$ 组正整数解 $(m,n,r)$．
（2）对于给定的整数 $k>1$，证明：不定方程 $mn+nr+mr=k(m+n+r)$ 至少有 $3k+1$ 组正整数解 $(m,n,r)$．
【难度】
【出处】
2006中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）若 $m,n,r\geqslant 2$，由 $mn\geqslant 2m,nr\geqslant 2n,mr\geqslant 2r$ 得 $mn+nr+mr\geqslant 2(m+n+r)$
所以以上不等式均取等号，故 $m=n=r=2$．
若 $1\in\{m,n,r\}$，不妨设 $m=1$，则 $nr+n+r=2(1+n+r)$，于是 $(n-1)(r-1)=3$，所以 $\{n-1,r-1\}=\{1,3\}$，故 $\{n,r\}=\{2,4\},\{m,n,r\}=\{1,2,4\}$，这样的解有 $3!=6$ 组．
所以，不定方程 $mn+nr+mr=2(m+n+r)$ 共有 $7$ 组正整数解．
（2）将 $mn+nr+mr=k(m+n+r)$ 化为 $[n-(k-m)][r-{k-m}]=k^2-km+m^2$．
$n=k-m+1,r=k^2-km+m^2+k-m$
满足上式．且 $m=1,2,\cdots,\left[\dfrac{k}{2}\right]$ 时，$0<m<n<r$．
$k$ 为偶数时，$\{m,n,r\}=\{l,k-l+1,k^2-kl+l^2+k-l\}$
其中 $l=1,2,\cdots,\dfrac{k}{2}$ 给出了不定方程的 $3(k-1)$ 组正整数解，$m,n,r$ 中有两个 $\dfrac{k+1}{2}$，另一个为 $k^2-k\dfrac{k+1}{2}+(\dfrac{k+1}{2})^2+k-\dfrac{k+1}{2}=\dfrac{(k+1)(3k-1)}{4}$ 的情况给出了不定方程的 $3$ 组整数解．
而 $m=n=r=k$ 亦为不定方程的正整数解．
故不定方程 $mn+nr+mr=k(m+n+r)$ 至少有 $3k+1$ 组正整数解．
所以以上不等式均取等号，故 $m=n=r=2$．
若 $1\in\{m,n,r\}$，不妨设 $m=1$，则 $nr+n+r=2(1+n+r)$，于是 $(n-1)(r-1)=3$，所以 $\{n-1,r-1\}=\{1,3\}$，故 $\{n,r\}=\{2,4\},\{m,n,r\}=\{1,2,4\}$，这样的解有 $3!=6$ 组．
所以，不定方程 $mn+nr+mr=2(m+n+r)$ 共有 $7$ 组正整数解．
（2）将 $mn+nr+mr=k(m+n+r)$ 化为 $[n-(k-m)][r-{k-m}]=k^2-km+m^2$．
$n=k-m+1,r=k^2-km+m^2+k-m$
满足上式．且 $m=1,2,\cdots,\left[\dfrac{k}{2}\right]$ 时，$0<m<n<r$．
$k$ 为偶数时，$\{m,n,r\}=\{l,k-l+1,k^2-kl+l^2+k-l\}$
其中 $l=1,2,\cdots,\dfrac{k}{2}$ 给出了不定方程的 $3(k-1)$ 组正整数解，$m,n,r$ 中有两个 $\dfrac{k+1}{2}$，另一个为 $k^2-k\dfrac{k+1}{2}+(\dfrac{k+1}{2})^2+k-\dfrac{k+1}{2}=\dfrac{(k+1)(3k-1)}{4}$ 的情况给出了不定方程的 $3$ 组整数解．
而 $m=n=r=k$ 亦为不定方程的正整数解．
故不定方程 $mn+nr+mr=k(m+n+r)$ 至少有 $3k+1$ 组正整数解．
答案
解析
备注
