设函数 $f(x)$ 满足：$f(x+1)-f(x)=2x+1(x\in\mathbf{R})$，且当 $x\in[0,1]$ 时有 $|f(x)|\leqslant 1$，证明：当 $x\in\mathbf{R}$ 时，有 $|f(x)|\leqslant 2+x^2$．
【难度】
【出处】
2007中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(x+1)-g(x)=f(x+1)-f(x)-(x+1)^2+x^2=0$，所以 $g(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上以 $1$ 为周期的周期函数；又由条件当 $x\in[0,1]$ 时有 $|f(x)|\leqslant 1$，可得，当 $x\in[0,1]$ 时，$|g(x)|=|f(x)-x^2|\leqslant |f(x)|+|x^2|\leqslant 2$，所以周期函数 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有 $|g(x)|\leqslant 2$，据此知，在 $\mathbf{R}$ 上，$|f(x)|=|g(x)+x^2|\leqslant |g(x)|+|x^2|\leqslant 2+x^2$．
答案
解析
备注
