求出最大的正数 $\lambda$，使得对于满足 $x^2+y^2+z^2=1$ 的任何实数 $x,y,z$ 成立不等式：$|\lambda xy+yz|\leqslant\dfrac{\sqrt{5}}{2}$．
【难度】
【出处】
2008中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于
$1=x^2+y^2+z^2=x^2+\dfrac{\lambda^2}{1+\lambda^2}y^2+\dfrac{1}{1+\lambda^2}y^2+z^2\geqslant \dfrac{2}{\sqrt{1+\lambda^2}}(\lambda|xy|+|yz|)\geqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+\lambda^2}}(|\lambda xy+yz|)$
且当 $y=\dfrac{sqrt{2}}{2},x=\dfrac{\sqrt{2}\lambda}{2\sqrt{\lambda^2+1}},z=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\lambda^2+1}}$ 时，上述两个等号可同取到．因此 $\dfrac{\sqrt{1+\lambda^2}}{2}$ 是 $|\lambda xy+yz|$ 的最大值．令 $\dfrac{\sqrt{1+\lambda^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，解得 $\lambda=2$．
$1=x^2+y^2+z^2=x^2+\dfrac{\lambda^2}{1+\lambda^2}y^2+\dfrac{1}{1+\lambda^2}y^2+z^2\geqslant \dfrac{2}{\sqrt{1+\lambda^2}}(\lambda|xy|+|yz|)\geqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+\lambda^2}}(|\lambda xy+yz|)$
且当 $y=\dfrac{sqrt{2}}{2},x=\dfrac{\sqrt{2}\lambda}{2\sqrt{\lambda^2+1}},z=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\lambda^2+1}}$ 时，上述两个等号可同取到．因此 $\dfrac{\sqrt{1+\lambda^2}}{2}$ 是 $|\lambda xy+yz|$ 的最大值．令 $\dfrac{\sqrt{1+\lambda^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，解得 $\lambda=2$．
答案
解析
备注
