设 $a_i=\min\left\{k+\dfrac{i}{k}|k\in\mathbf{N}^{\ast}\right\}$，试求 $S_n^2=[a_1]+[a_2]+\cdots+[a_n^2]$ 的值，其中 $n\geqslant 2$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2007中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $a_i=\min\left\{k+\dfrac{i+1}{k}|k\in\mathbf{N}^{\ast}\right\}=k_1+\dfrac{i+1}{k_1}(k_1\in\mathbf{N}^{\ast})$，则 $a_i\leqslant k_1+\dfrac{i}{k_1}<k_1+\dfrac{i+1}{k_1}=a_{i+1}$，即数列 $\{a_n\}$ 严格单增，由于 $k+\dfrac{m^2}{k}\geqslant 2m$（当 $k=m$ 时取得等号），故 $a_m^2=2m(m\in\mathbf{N}^{\ast})$；又当 $k=m,m+1$ 时，$k+\dfrac{m(m+1)}{k}=2m+1$，而在 $k\leqslant m$ 或 $k\geqslant m+1$ 时，$(k-m)(k-m-1)\geqslant 0$，即 $k^2-(2m+1)k+m(m+1)\geqslant 0$，亦即 $k+\dfrac{m(m+1)}{k}\geqslant 2m+1$，所以 $a_{m+m}^2=2m+1$，再由数列 $\{a_n\}$ 的单调性，当 $m^2+m\leqslant i<(m+1)^2$ 时，$2m+1\leqslant a_i<2(m+1)$；当 $m^2+m\leqslant i<(m+1)^2$ 时，$2m+1\leqslant a_i<2(m+1)$，所以
$[a_i]=\begin{cases}
2m,m^2\leqslant i<m^2+m\\
2m+1,m^2+m\leqslant i<(m+1)^2
\end{cases}$
因此，$\sum_{i=m^2}^{m^2+2m}[a_i]=2m\cdot m+(2m+1)\cdot (m+1)=4m^2+3m+1$，于是
$\begin{aligned}
S_n^2&=\sum_{m=1}^{n-1}(4m^2+3m+1)+2n\\
&=4\times\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}+3\times\dfrac{n(n-1)}{2}+(n-1)+2n\\
&=\dfrac{8n^3-3n^2+13n-6}{6}
\end{aligned}$
$[a_i]=\begin{cases}
2m,m^2\leqslant i<m^2+m\\
2m+1,m^2+m\leqslant i<(m+1)^2
\end{cases}$
因此，$\sum_{i=m^2}^{m^2+2m}[a_i]=2m\cdot m+(2m+1)\cdot (m+1)=4m^2+3m+1$，于是
$\begin{aligned}
S_n^2&=\sum_{m=1}^{n-1}(4m^2+3m+1)+2n\\
&=4\times\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}+3\times\dfrac{n(n-1)}{2}+(n-1)+2n\\
&=\dfrac{8n^3-3n^2+13n-6}{6}
\end{aligned}$
答案
解析
备注
