设 $a>b>0,f(x)=\dfrac{2(a+b)x+2ab}{4x+a+b}$．证明：存在唯一的正数 $x$，使得 $f(x)=\left(\dfrac{a^\frac{1}{3}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3$．
【难度】
【出处】
2006中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
令 $t=\left(\dfrac{a^\frac{1}{3}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3$，由 $t=\dfrac{2(a+b)x+2ab}{4x+a+b}$，得 $[2(a+b)-4t]x=t(a+b)-2ab$ ①
为证 ① 有唯一的正整数解 $x$，只要证 $2(a+b)-4t>0$ 及 $t(a+b)-2ab>0$，即
$\dfrac{2ab}{a+b}<\left(\dfrac{a^\frac{1}{3}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3<\dfrac{a+b}{2}$ ②
记 $a ^{\frac{1}{3}}=u,b^{\frac{1}{3}}=v,u>v$，即要证
$\dfrac{2u^3v^3}{u^3+v^3}<\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^3<\dfrac{u^3+v^3}{2}$ ③
由于 $(u^3+v^3)\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^3>2\sqrt{u^3v^3}(\sqrt{uv})^3=2u^3v^3$，即 ③ 左端成立．
为证 $\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^3<\dfrac{u^3+v^3}{2}$，即
$\dfrac{1}{8}(u+v)^2<\dfrac{u^2-uv+v^2}{2},(u+v)^2<4(u^2-uv+v^2)$
即 $3(u-v)^2>0$，此为显然．故 ③ 成立，从而 $x=\dfrac{t(a+b)-2ab}{2(a+b)-4t}$ 即为所求．
证法二
$f(x)=\dfrac{2(a+b)x+2ab}{4x+a+b}=\dfrac{1}{2}(a+b)-\dfrac{(a-b)^2}{2(4x+a+b)}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为严格单调增加的连续函数，而且 $f(0)=\dfrac{2ab}{a+b},\lim_\limits{x\rightarrow +\infty}f(x)=\dfrac{a+b}{2}$．
据证法一 ② 式知，$\dfrac{2ab}{a+b}<\left(\dfrac{a^\frac{1}{2}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3<\dfrac{a+b}{2}$
故存在唯一的正数 $x$，使得 $f(x)=\left(\dfrac{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3$．
令 $t=\left(\dfrac{a^\frac{1}{3}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3$，由 $t=\dfrac{2(a+b)x+2ab}{4x+a+b}$，得 $[2(a+b)-4t]x=t(a+b)-2ab$ ①
为证 ① 有唯一的正整数解 $x$，只要证 $2(a+b)-4t>0$ 及 $t(a+b)-2ab>0$，即
$\dfrac{2ab}{a+b}<\left(\dfrac{a^\frac{1}{3}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3<\dfrac{a+b}{2}$ ②
记 $a ^{\frac{1}{3}}=u,b^{\frac{1}{3}}=v,u>v$，即要证
$\dfrac{2u^3v^3}{u^3+v^3}<\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^3<\dfrac{u^3+v^3}{2}$ ③
由于 $(u^3+v^3)\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^3>2\sqrt{u^3v^3}(\sqrt{uv})^3=2u^3v^3$，即 ③ 左端成立．
为证 $\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^3<\dfrac{u^3+v^3}{2}$，即
$\dfrac{1}{8}(u+v)^2<\dfrac{u^2-uv+v^2}{2},(u+v)^2<4(u^2-uv+v^2)$
即 $3(u-v)^2>0$，此为显然．故 ③ 成立，从而 $x=\dfrac{t(a+b)-2ab}{2(a+b)-4t}$ 即为所求．
证法二
$f(x)=\dfrac{2(a+b)x+2ab}{4x+a+b}=\dfrac{1}{2}(a+b)-\dfrac{(a-b)^2}{2(4x+a+b)}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为严格单调增加的连续函数，而且 $f(0)=\dfrac{2ab}{a+b},\lim_\limits{x\rightarrow +\infty}f(x)=\dfrac{a+b}{2}$．
据证法一 ② 式知，$\dfrac{2ab}{a+b}<\left(\dfrac{a^\frac{1}{2}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3<\dfrac{a+b}{2}$
故存在唯一的正数 $x$，使得 $f(x)=\left(\dfrac{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}{2}\right)^3$．
答案
解析
备注
