对任意正整数 $n$，设 $a_n$ 是方程 $x^3+\dfrac{x}{n}=1$ 的实数根，求证：
（1）$a_{n+1}>a_n$；
（2）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{(i+1)^2a_i}<a_n$．
（1）$a_{n+1}>a_n$；
（2）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{(i+1)^2a_i}<a_n$．
【难度】
【出处】
2006中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $a_n^3+\dfrac{a_n}{n}=1$，得 $0<a_n<1$．
（1）$0=a_{n+1}^3-a_{n}^3+\dfrac{a_{n+1}}{n+1}-\dfrac{a_n}{n}<a_{n+1}^3-a_n^3+\dfrac{a_{n+1}}{n}-\dfrac{a_n}{n}=(a_{n+1}-a_n)\left(a_{n+1}^2+a_{n+1}a_n+a_n^2+\dfrac{1}{n}\right)$．
因为 $a_{n+1}^2+a_{n+1}a_n+a_n^2+\dfrac{1}{n}>0$，故 $a_{n+1}-a_n>0$，即 $a_{n+1}>a_n$．
（2）因为 $a_n\left(a_n^2+\dfrac{1}{n}\right)=1$，所以 $a_n=\dfrac{1}{a_n^2+\frac{1}{n}}>\dfrac{1}{1+\frac{1}{n}}=\dfrac{n}{n+1}$
从而
$\begin{aligned}
\dfrac{1}{(n+1)^2a_n}&<\dfrac{1}{n(n+1)}\\
\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{(i+1)^2a_i}&<\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{i(i+1)}\\
&=\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)\\
&=1-\dfrac{1}{n+1}\\
&=\dfrac{n}{n+1}<a_n\end{aligned}$
故 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{(i+1)^2a_i}<a_n$．
（1）$0=a_{n+1}^3-a_{n}^3+\dfrac{a_{n+1}}{n+1}-\dfrac{a_n}{n}<a_{n+1}^3-a_n^3+\dfrac{a_{n+1}}{n}-\dfrac{a_n}{n}=(a_{n+1}-a_n)\left(a_{n+1}^2+a_{n+1}a_n+a_n^2+\dfrac{1}{n}\right)$．
因为 $a_{n+1}^2+a_{n+1}a_n+a_n^2+\dfrac{1}{n}>0$，故 $a_{n+1}-a_n>0$，即 $a_{n+1}>a_n$．
（2）因为 $a_n\left(a_n^2+\dfrac{1}{n}\right)=1$，所以 $a_n=\dfrac{1}{a_n^2+\frac{1}{n}}>\dfrac{1}{1+\frac{1}{n}}=\dfrac{n}{n+1}$
从而
$\begin{aligned}
\dfrac{1}{(n+1)^2a_n}&<\dfrac{1}{n(n+1)}\\
\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{(i+1)^2a_i}&<\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{i(i+1)}\\
&=\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)\\
&=1-\dfrac{1}{n+1}\\
&=\dfrac{n}{n+1}<a_n\end{aligned}$
故 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{(i+1)^2a_i}<a_n$．
答案
解析
备注
