（1）讨论关于 $x$ 的方程 $|x+1|+|x+2|+|x+3|=a$ 的根的个数．
（2）设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为等差数列，且
$\begin{aligned}
&|a_1|+|a_1|+\cdots+|a_1|\\
=&|a_1+1|+|a_2+1|+\cdots+|a_n+1|\\
=&|a_1-2|+|a_2-2|+\cdots+|a_n-2|=507
\end{aligned}$
求项数 $n$ 的最大值．
（2）设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为等差数列，且
$\begin{aligned}
&|a_1|+|a_1|+\cdots+|a_1|\\
=&|a_1+1|+|a_2+1|+\cdots+|a_n+1|\\
=&|a_1-2|+|a_2-2|+\cdots+|a_n-2|=507
\end{aligned}$
求项数 $n$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2005中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）根据函数 $y=|x+1|+|x+2|+|x+3|=a$ 的图象可知；
当 $a<2$ 时，方程无解；
当 $a=2$ 时，方程有一个根；
当 $a>2$ 时，方程有两个根．
（2）因为方程 $|x|=|x+1|=|x-2|$ 无解，故 $n\geqslant 2$ 且公差不为 $0$．不妨设数列的各项为 $a-kd(1\leqslant k\leqslant n,d>0)$．作函数 $\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=1}^n|x-kd|$，本题条件等价于 $f(x)=507$ 至少有三个不同的根 $a,a+1,a-2$，此条件又等价于函数 $y=f(x)$ 的图像与水平直线 $y=507$ 至少有三个不同点的公共点．
由于 $y=f(x)$ 的图像是关于直线 $y=\dfrac{(n+1)d}{2}$ 左右对称的 $n+1$ 段的下凸折线，它与水平直线 $L$ 有三个公共点，当且仅当折线有一水平段在 $L$ 上，当且仅当 $n=2m$ 且 $a,a+1,a-2\in[md,(m+1)d],f(md)=507$，即 $d\geqslant 3$，且 $m^2d=507$．
由此得 $m^2\leqslant\dfrac{507}{3},m\leqslant 13$．
显然，$m=13$ 时，取 $d=3,a=4$ 满足本题条件．因此，$n$ 的最大值为 $26$．
当 $a<2$ 时，方程无解；
当 $a=2$ 时，方程有一个根；
当 $a>2$ 时，方程有两个根．
（2）因为方程 $|x|=|x+1|=|x-2|$ 无解，故 $n\geqslant 2$ 且公差不为 $0$．不妨设数列的各项为 $a-kd(1\leqslant k\leqslant n,d>0)$．作函数 $\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=1}^n|x-kd|$，本题条件等价于 $f(x)=507$ 至少有三个不同的根 $a,a+1,a-2$，此条件又等价于函数 $y=f(x)$ 的图像与水平直线 $y=507$ 至少有三个不同点的公共点．
由于 $y=f(x)$ 的图像是关于直线 $y=\dfrac{(n+1)d}{2}$ 左右对称的 $n+1$ 段的下凸折线，它与水平直线 $L$ 有三个公共点，当且仅当折线有一水平段在 $L$ 上，当且仅当 $n=2m$ 且 $a,a+1,a-2\in[md,(m+1)d],f(md)=507$，即 $d\geqslant 3$，且 $m^2d=507$．
由此得 $m^2\leqslant\dfrac{507}{3},m\leqslant 13$．
显然，$m=13$ 时，取 $d=3,a=4$ 满足本题条件．因此，$n$ 的最大值为 $26$．
答案
解析
备注
