（1）是否存在正整数的无穷数列 $\{a_n\}$，使得对任意的正整数 $n$ 都有 $a_{n+1}^2\geqslant 2a_na_{n+2}$？
（2）是否存在正无理数的无穷数列 $\{a_n\}$ 使得对任意的正整数 $n$ 都有 $a_{n+1}^2\geqslant 2a_na_{n+2}$？
（2）是否存在正无理数的无穷数列 $\{a_n\}$ 使得对任意的正整数 $n$ 都有 $a_{n+1}^2\geqslant 2a_na_{n+2}$？
【难度】
【出处】
2004中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）假设存在正整数数列 $\{a_n\}$ 满足条件．
因为 $a_{n+1}^2\geqslant 2a_na_{n+2},a_n>0$，所以
$\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\leqslant\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\leqslant\dfrac{1}{2^2}\cdot\dfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\leqslant\cdots\leqslant\dfrac{1}{2^{n-2}}\cdot\dfrac{a_2}{a_1},n=3,4,\cdots$
又 $\dfrac{a_2}{a_1}\leqslant\dfrac{1}{2^{2-2}}\cdot\dfrac{a_2}{a_1}$，所以有 $\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\leqslant\dfrac{1}{2^{n-2}}\cdot\dfrac{a_2}{a_1}$ 对 $n=2,3,4,\cdots$ 成立．于是
$a_n\leqslant\left(\dfrac{1}{2^{n-2}}\cdot\dfrac{a_2}{a_1}\right)a_{n-1}\leqslant\dfrac{1}{2^{(n-2)+(n-3)}}\cdot\left(\dfrac{a_2}{a_1}\right)^2\cdot a_{n-2}\leqslant\cdots\leqslant\dfrac{1}{2^{(n-2)+(n-3)+\cdots+1}}\cdot\left(\dfrac{a_2}{a_1}\right)^{n-2}\cdot a_2$
所以 $a_n\leqslant\left(\dfrac{a_2^2}{2^{n-2}}\right)^{\frac{n-1}{2}}\cdot\dfrac{1}{a_1^{n-2}}$．
设 $a_2^2\in[2^k,2^{k+1}),k\in \mathbf{N}^{\ast}$，取 $N=k+3$，则有
$a_N\leqslant \left(\dfrac{a_2^2}{2^{N-2}}\right)^{\frac{N-1}{2}}\cdot\dfrac{1}{a_1^{N-2}}<\left(\dfrac{2^{k+1}}{2^{k+1}}\right)^{\frac{k+2}{2}}\cdot\dfrac{1}{a_1^{k+1}}\leqslant 1$，这与 $a_N$ 是正整数矛盾．
所以不存在正整数数列 $\{a_n\}$ 满足条件．
（2）$a_n=\dfrac{\pi}{2^{(n-1)(n-2)}}$ 就是满足条件的一个无理数数列．此时有 $a_{n+1}^2=4a_na_{n+2}\geqslant 2a_na_{n+2}$．
因为 $a_{n+1}^2\geqslant 2a_na_{n+2},a_n>0$，所以
$\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\leqslant\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\leqslant\dfrac{1}{2^2}\cdot\dfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\leqslant\cdots\leqslant\dfrac{1}{2^{n-2}}\cdot\dfrac{a_2}{a_1},n=3,4,\cdots$
又 $\dfrac{a_2}{a_1}\leqslant\dfrac{1}{2^{2-2}}\cdot\dfrac{a_2}{a_1}$，所以有 $\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\leqslant\dfrac{1}{2^{n-2}}\cdot\dfrac{a_2}{a_1}$ 对 $n=2,3,4,\cdots$ 成立．于是
$a_n\leqslant\left(\dfrac{1}{2^{n-2}}\cdot\dfrac{a_2}{a_1}\right)a_{n-1}\leqslant\dfrac{1}{2^{(n-2)+(n-3)}}\cdot\left(\dfrac{a_2}{a_1}\right)^2\cdot a_{n-2}\leqslant\cdots\leqslant\dfrac{1}{2^{(n-2)+(n-3)+\cdots+1}}\cdot\left(\dfrac{a_2}{a_1}\right)^{n-2}\cdot a_2$
所以 $a_n\leqslant\left(\dfrac{a_2^2}{2^{n-2}}\right)^{\frac{n-1}{2}}\cdot\dfrac{1}{a_1^{n-2}}$．
设 $a_2^2\in[2^k,2^{k+1}),k\in \mathbf{N}^{\ast}$，取 $N=k+3$，则有
$a_N\leqslant \left(\dfrac{a_2^2}{2^{N-2}}\right)^{\frac{N-1}{2}}\cdot\dfrac{1}{a_1^{N-2}}<\left(\dfrac{2^{k+1}}{2^{k+1}}\right)^{\frac{k+2}{2}}\cdot\dfrac{1}{a_1^{k+1}}\leqslant 1$，这与 $a_N$ 是正整数矛盾．
所以不存在正整数数列 $\{a_n\}$ 满足条件．
（2）$a_n=\dfrac{\pi}{2^{(n-1)(n-2)}}$ 就是满足条件的一个无理数数列．此时有 $a_{n+1}^2=4a_na_{n+2}\geqslant 2a_na_{n+2}$．
答案
解析
备注
