2006中国东南数学奥林匹克试题

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  二试代数部分

略

证法一
当 $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ 时，有 $m\geqslant 27$．
下证不等式 $27(a^3+b^3+c^3)\geqslant 6(a^2+b^2+c^2)+1$ 对于满足 $a+b+c=1$ 的任意正实数 $a,b,c$ 都成立．
因为对于 $0<x<1$，有
$\begin{aligned}
27x^3&\geqslant 6x^2+5x-\dfrac{4}{3}\\
&\Leftrightarrow 81x^3-18x^2-15x+4\geqslant 0\\
&\Leftrightarrow (3x-1)^2(9x+4)\geqslant 0
\end{aligned}$
故 $27x^3\geqslant 6x^2+5x-\dfrac{4}{3},0<x<1$
所以
$\begin{aligned}
27a^3&\geqslant 6a^2+5a-\dfrac{4}{3}\\
27b^3&\geqslant 6b^2+5b-\dfrac{4}{3}\\
27c^3&\geqslant ca^2+5c-\dfrac{4}{3}
\end{aligned}$
把上面三个不等式相加，得 $27(a^3+b^3+c^3)\geqslant 6(a^2+b^2+c^2)+1$．
所以，$m$ 的最小值为 $27$．
证法二
当 $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ 时，有 $m\geqslant 27$．
下证不等式 $27(a^3+b^3+c^3)\geqslant 6(a^2+b^2+c^2)+1$ 对于满足 $a+b+c=1$ 的任意正实数 $a,b,c$ 都成立．
因为 $(a-b)^2(a+b)\geqslant 0$，所以 $a^3+b^3\geqslant a^2b+ab^2$，同理，$b^3+c^3\geqslant b^2c+bc^2,c^3+a^3\geqslant c^2a+ca^2$
于是
$\begin{aligned}2(a^3+b^3+c^3)&\geqslant a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\\
3(a^3+b^3+c^3)&\geqslant a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\\
&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\\
&=a^2+b^2+c^2
\end{aligned}$
所以
$\begin{aligned}
6(a^2+b^2+c^2)+1&=6(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2\\
&\leqslant 6(a^2+b^2+c^2)+3(a^2+b^2+c^2)\\
&=9(a^2+b^2+c^2)\leqslant 27(a^3+b^3+c^3)
\end{aligned}$
所以，$m$ 的最小值为 $27$．