对任意正整数 $a_0>1$，按以下方式定义数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbb N$）：\[a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n},&\sqrt{a_n}\in \mathbb Z,\\ a_n+3,& \sqrt{a_n}\notin \mathbb Z,\end{cases}\]求所有的 $a_0$ 的值，使得存在 $A$ 满足 $a_n=A$ 对无穷多个 $n$ 成立．（南非）
【难度】
【出处】
2017年第58届IMO试题
【标注】
【答案】
$\{3k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\}$
【解析】
若存在 $A$ 满足 $a_n=A$ 对无穷多个 $n$ 成立，那么 $a_0$ 必须满足$$a_0\equiv 0\pmod 3$$或$$a_0\equiv 1\pmod 3,$$从而数列中的所有数都是模 $3$ 同余的．于是必然存在 $n_0$（$n_0\in\mathbb N$）和 $T$（$T\in\mathbb N^{\ast}$），使得当 $n\geqslant n_0$ 且 $n\in\mathbb N$ 时，有 $a_{n+T}=a_n$．且此时数列从某项开始形如\[\underbrace{m,m+3,\cdots m^2-3,m^2},\underbrace{m,m+3,\cdots ,m^2-3,m^2},\cdots\]且每个循环 $m,m+3,\cdots m^2-3,m^2$ 中没有其它平方数．由于\[(m-3)^2\equiv m^2\pmod 3,\]因此必然有\[(m-3)^2<m,\]于是 $m=3,4$，经检验 $m=3$ 符合题意．这样就得到了 $3\mid a_0$．
另一方面，当 $3\mid a_0$ 时，必然存在整数 $k$ 使得 $a_0<(3k)^2$，此时有\[a_n\leqslant (3k)^2,n\in\mathbb N,\]于是必然存在位于区间 $\left[2,3k^2\right]$ 内的某个正整数 $A$，使得 $a_n=A$ 对无穷多个 $n$ 成立．
综上所述，所有满足题意的 $a_0$ 的值构成集合 $\{3k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\}$．
另一方面，当 $3\mid a_0$ 时，必然存在整数 $k$ 使得 $a_0<(3k)^2$，此时有\[a_n\leqslant (3k)^2,n\in\mathbb N,\]于是必然存在位于区间 $\left[2,3k^2\right]$ 内的某个正整数 $A$，使得 $a_n=A$ 对无穷多个 $n$ 成立．
综上所述，所有满足题意的 $a_0$ 的值构成集合 $\{3k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\}$．
答案
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备注
