试求实数 $a$ 的个数，使得对于每个 $a$，关于 $x$ 的三次方程 $x^3=ax+a+1$ 都有满足 $|x|<1000$ 的偶数根．
【难度】
【出处】
2007中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
令 $x_0=2n$，$n$ 为整数，且 $|2n|<1000$，即 $|n|\leqslant 499$，所以至多取 $2\times 499+1=999$ 个数，即 $n\in\{-499,-498,\cdots,0,1,\cdots,499\}$．将 $x_0=2n$ 代入原方程得 $a=\dfrac{8n^3-1}{2n+1}$．
记 $f(n)=\dfrac{8n^3-1}{2n+1}$，对任意的 $n_1,n_2\in\{-499,-498,\cdots,0,1,\cdots,499\}$，当 $n_1\ne n_2(n_1,n_2\in\mathbb{Z})$ 时，若 $f(n_1)=f(n_2)$，设 $n_1=\dfrac{x_1}{2},n_2=\dfrac{x_2}{2}$，其中 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^3-ax-a-1=0$ 的两个根，设另一根为 $x_3$，由根与系数的关系
$\begin{cases}
x_3=-(x_1+x_2)\\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-a\\
x_1x_2x_3=a+1
\end{cases}$
即
$\begin{cases}
4N_1=-a\\
8N_2=a+1
\end{cases}$
其中 $N_1=-(n^2_1+n^2_2+n_1n_2),N_2=-n_1n_2(n_1+n_2)$，即 $4N_1+8N_2=1$，矛盾!
所以，对于不同的 $n_1,n_2\in\{-499,-498,\cdots,0,1,\cdots,499\}$，都有 $f(n_1)\ne f(n_2)$，于是满足条件的实数 $a$ 恰有 $999$ 个．
证法二
对任意 $|x|\leqslant 998$，$x$ 为偶数，$a=\dfrac{x^3-1}{x+1}$ 的取值都各不相同．
反正，若存在 $x_1\ne x_2$，使得 $\dfrac{x_1^3-1}{x_1+1}=\dfrac{x_2^3-1}{x_2+1}$，其中 $x_1,x_2$ 为偶数，则 $(x_1-x_2)(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2+x_2^2+x_1x_2+1)=0$
由于 $x_1\ne x_2$，则 $x_1-x_2\ne 0$，又因为 $x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2+x_2^2+x_1x_2$ 为偶数，所以 $(x_1-x_2)(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2+x_2^2+x_1x_2+1)\ne 0$ 矛盾．因此满足条件的 $a$ 共有 $999$ 个．
令 $x_0=2n$，$n$ 为整数，且 $|2n|<1000$，即 $|n|\leqslant 499$，所以至多取 $2\times 499+1=999$ 个数，即 $n\in\{-499,-498,\cdots,0,1,\cdots,499\}$．将 $x_0=2n$ 代入原方程得 $a=\dfrac{8n^3-1}{2n+1}$．
记 $f(n)=\dfrac{8n^3-1}{2n+1}$，对任意的 $n_1,n_2\in\{-499,-498,\cdots,0,1,\cdots,499\}$，当 $n_1\ne n_2(n_1,n_2\in\mathbb{Z})$ 时，若 $f(n_1)=f(n_2)$，设 $n_1=\dfrac{x_1}{2},n_2=\dfrac{x_2}{2}$，其中 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^3-ax-a-1=0$ 的两个根，设另一根为 $x_3$，由根与系数的关系
$\begin{cases}
x_3=-(x_1+x_2)\\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-a\\
x_1x_2x_3=a+1
\end{cases}$
即
$\begin{cases}
4N_1=-a\\
8N_2=a+1
\end{cases}$
其中 $N_1=-(n^2_1+n^2_2+n_1n_2),N_2=-n_1n_2(n_1+n_2)$，即 $4N_1+8N_2=1$，矛盾!
所以，对于不同的 $n_1,n_2\in\{-499,-498,\cdots,0,1,\cdots,499\}$，都有 $f(n_1)\ne f(n_2)$，于是满足条件的实数 $a$ 恰有 $999$ 个．
证法二
对任意 $|x|\leqslant 998$，$x$ 为偶数，$a=\dfrac{x^3-1}{x+1}$ 的取值都各不相同．
反正，若存在 $x_1\ne x_2$，使得 $\dfrac{x_1^3-1}{x_1+1}=\dfrac{x_2^3-1}{x_2+1}$，其中 $x_1,x_2$ 为偶数，则 $(x_1-x_2)(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2+x_2^2+x_1x_2+1)=0$
由于 $x_1\ne x_2$，则 $x_1-x_2\ne 0$，又因为 $x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2+x_2^2+x_1x_2$ 为偶数，所以 $(x_1-x_2)(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2+x_2^2+x_1x_2+1)\ne 0$ 矛盾．因此满足条件的 $a$ 共有 $999$ 个．
答案
解析
备注
