（1）设 $a\in \mathbf{R}$，求证抛物线 $y=x^2+(a+2)x-2a+1$ 都经过一个定点，且顶点都落在一条抛物线上．
（2）若关于 $x$ 的方程 $x^2+(a+2)x-2a+1=0$ 有两个不等实根，求其较大根的取值范围．
（2）若关于 $x$ 的方程 $x^2+(a+2)x-2a+1=0$ 有两个不等实根，求其较大根的取值范围．
【难度】
【出处】
2005中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）令 $f_a(x)=x^2+(a+2)x-2a+1=x^2+2x+1+a(x-2)$，因此抛物线过定点 $(2,9)$．该抛物线的顶点坐标为 $x=-\dfrac{a+2}{2},y=\dfrac{4(1-2a)-(a+2)^2}{4}=\dfrac{-a^2-12a}{4}$．消去 $a$ 得 $y=-x^2+4x+5.$
（2）$f_a(x)=0$ 的大根为
$x=\dfrac{-(a+2)+\sqrt{(a+2)^2-4(1-2a)}}{2}=\dfrac{-(a+2)+\sqrt{a^2+12a}}{2}=\dfrac{-(a+2)+\sqrt{(a+6)^2-36}}{2}$．
令 $a+6=2k$，则 $x=\dfrac{-(2k-4)+\sqrt{4k^2-36}}{2}=\sqrt{k^2-9}-k+2$．
由判别式 $\Delta>0$ 得 $k>3$ 或 $k<-3$．
当 $k<-3$ 时，$x>5$；
当 $k>3$ 时，$x=2-\dfrac{9}{\sqrt{k^2-9+k}}$，可得 $-1<x<2$．
综上得，方程的大根 $x$ 的取值范围为 $(-1,2)\bigcup(5,+\infty)$．
（2）$f_a(x)=0$ 的大根为
$x=\dfrac{-(a+2)+\sqrt{(a+2)^2-4(1-2a)}}{2}=\dfrac{-(a+2)+\sqrt{a^2+12a}}{2}=\dfrac{-(a+2)+\sqrt{(a+6)^2-36}}{2}$．
令 $a+6=2k$，则 $x=\dfrac{-(2k-4)+\sqrt{4k^2-36}}{2}=\sqrt{k^2-9}-k+2$．
由判别式 $\Delta>0$ 得 $k>3$ 或 $k<-3$．
当 $k<-3$ 时，$x>5$；
当 $k>3$ 时，$x=2-\dfrac{9}{\sqrt{k^2-9+k}}$，可得 $-1<x<2$．
综上得，方程的大根 $x$ 的取值范围为 $(-1,2)\bigcup(5,+\infty)$．
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解析
备注
