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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15279 5a59a73b1ccf880007caa4b0 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\sqrt{2n+\dfrac 13\ln (n-1)}\leqslant a_n\leqslant \sqrt{2n+\dfrac 12\ln (n-1)}.\] 2022-04-17 19:15:12
15252 5c6a5359210b281dbaa933fc 高中 解答题 自招竞赛 求最大的正整数 $n$，使不等式 $\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}$ 对唯一的一个整数 $k$ 成立． 2022-04-17 19:01:12
15244 5c6babee210b281db9f4c8c8 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $n$，定义 ${{S}_{n}}$ 为和式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\sqrt{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}+a_{k}^{2}}}$ 的最小值，其中 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{n}}$ 为正实数，它们的和为17．已知有唯一的正整数 $n$，使 ${{S}_{n}}$ 也为整数，求 $n$． 2022-04-17 19:57:11
15140 5cb8523f210b28021fc75875 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，求 $M=a^2bc+ab^2c+abc^2$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 19:57:10
15125 5cc66984210b280220ed2672 高中 解答题 自招竞赛 已知正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求 $M=\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{(\dfrac{5}{12})^2+b^2}$ 的最小值． 2022-04-17 19:48:10
15124 5cce4c71210b280220ed27ff 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 均为正实数，求证：$\dfrac{a(a^2+bc)}{b+c}+\dfrac{b(b^2+ca)}{c+a}+\dfrac{c(c^2+ab)}{a+b}\geqslant ab+bc+ca$． 2022-04-17 19:48:10
15121 5cd4df12210b280220ed2ba7 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于任意实数 $x,y,z$ 都有 $x^2+2y^2+3z^2\geqslant \sqrt{3}(xy+yz+zx)$． 2022-04-17 19:46:10
15011 6011301425bdad000ac4d239 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，已知 $a>b>0, l_1,l_2$ 是双曲线 $\Gamma_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的两条渐近线，过椭圆 $\Gamma_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点 $F$ 作直线 $m$，使得 $m\perp l_1$，直线 $m$ 与 $l_2$ 的交于点 $P$，与椭圆 $\Gamma_2$ 交于点 $A,B$．求 $\frac{|PB|}{|PA|}$ 的最大值以及此时椭圆 $\Gamma_2$ 的离心率． 2022-04-17 19:46:09
15007 601a42d525bdad0009f73f5d 高中 解答题 自招竞赛 对每个实数 $p\in(0,2)$，设抛物线 $C_p:y^2=2px$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$，过定点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C_p$ 切于点 $K$，过点 $A$ 作 $l$ 的平行线，与抛物线 $C_p$ 交于点 $L,M$．试将 $\triangle KLM$ 的面积表示为 $p$ 的函数 $f(p)$（$0<p<2$），并求 $f(p)$ 的最大值． 2022-04-17 19:44:09
15001 602e081125bdad000ac4d54f 高中 解答题 自招竞赛 设二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$．已知对任意的实数 $b$，都存在实数 $x\in [1,2]$，使得不等式 $|f(x)|\geqslant x$ 成立，求实数 $c$ 的取值范围． 2022-04-17 19:41:09
14999 602f5b7925bdad0009f7412f 高中 解答题 高中习题 设 $n\in\mathbb{N^{\ast}}$，实数 $x_1,x_2,\ldots, x_n\in[-1,1]$，函数 $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_n)$．证明：对任意 $a\in(-1,0), b\in(0,1)$，都有 $\min \{|f(a)|,|f(b)|\}<1$． 2022-04-17 19:41:09
14993 603f655625bdad000ac4d8e0 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，抛物线上有两个动点 $A,B$ 及一个定点 $M$，使得 $AF, MF,BF$ 的长度成等差数列． 2022-04-17 19:37:09
14924 62304de6ea59ab000a73d80b 高中 解答题 高中习题 已知 $A=\{x~|~4-3x-x^2\geqslant 0\}$，$B=\{x~|~x^2+2x>0\}$，求 $A\cap B$． 2022-04-17 19:59:08
14893 6231bad5ea59ab000a73d938 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)$ 为奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$． 2022-04-17 19:42:08
14870 62342a28ea59ab000a73db10 高中 解答题 高中习题 已知定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)=\dfrac{-2^x+b}{2^{x+1}+2}$ 是奇函数． 2022-04-17 19:28:08
14715 5a2a0ee7f25ac10009ad7123 高中 填空题 高中习题 已知实数 $a,b$ 满足 $a+b<0$ 且关于 $x$ 的不等式 $ax^2-2bx+c\geqslant 0$ 恒成立，则 $M=\dfrac{b-a-c}{a+b}$ 的最小值为 ． 2022-04-16 23:07:01
14713 5a2a124bf25ac10009ad712a 高中 填空题 高中习题 若适合不等式 $|x^2-4x+k|+|x-3|\leqslant 5$ 的实数 $x$ 的最大值为 $3$，则实数 $k$ 的值为 ． 2022-04-16 23:06:01
14602 59e95eecc3f07000082a3ad3 高中 填空题 高中习题 已知 $ab=\dfrac14$，$a,b\in(0,1)$，则 $\dfrac1{1-a}+\dfrac2{1-b}$ 的最小值为 ． 2022-04-16 23:03:00
14588 59b7c534c527ed0009f1c9fb 高中 填空题 高中习题 若定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)=\left|{\sin x+\dfrac{2}{3+\sin x}+t}\right|$ 最大值记为 $g(t)$，则函数 $g(t)$ 的最小值为 ． 2022-04-16 22:55:59
14583 59e004a868c9e3000dc62c88 高中 填空题 高中习题 已知正实数 $x,y,z$ 满足 $\sqrt{x^2+y^2}+z=1$，则 $xy+2xz$ 的最大值为  ． 2022-04-16 22:53:59
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