已知正实数 $x,y,z$ 满足 $\sqrt{x^2+y^2}+z=1$，则 $xy+2xz$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt3}{3}$
【解析】
根据题意，有\[x^2=(1-z)^2-y^2=(1-z-y)(1-z+y),\]于是$$\begin{split} xy+2xz&=x(y+2z)\\
&=\sqrt{(1-z-y)(1-z+y)\cdot(y+2z)^2}\\
&=\sqrt{\dfrac13(3-3z-3y)(1-z+y)(y+2z)(y+2z)}\\
&\leqslant\dfrac{\sqrt3}3.\end{split}$$等号当\[3-3z-3y=1-z+y=y+2z,\]即\[(x,y,z)=\left(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac13\right)\]时取得，因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．
&=\sqrt{(1-z-y)(1-z+y)\cdot(y+2z)^2}\\
&=\sqrt{\dfrac13(3-3z-3y)(1-z+y)(y+2z)(y+2z)}\\
&\leqslant\dfrac{\sqrt3}3.\end{split}$$等号当\[3-3z-3y=1-z+y=y+2z,\]即\[(x,y,z)=\left(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac13\right)\]时取得，因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．
题目
答案
解析
备注
