题目 已知定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)=\dfrac{-2^x+b}{2^{x+1}+2}$ 是奇函数． 问题1 求 $b$ 的值； 答案1 $f(-x)=\dfrac{-2^{-x}+b}{2^{-x+1}+2}=-f(x)=-\dfrac{-2^x+b}{2^{x+1}+2}$．所以 $\dfrac{2^{-x}-b}{2^{-x+1}+2}=\dfrac{-2^x+b}{2^{x+1}+2}$，即 $1-2^xb=-2^x+b$，$b=1$ 解析1 略 备注1 问题2 判断函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的单调性并加以证明； 答案2 设 $x_1>x_2\in\mathbb{R}$，$f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{-2^{x_1}+1}{2^{x_1+1}+2}-\dfrac{-2^{x_2}+1}{2^{x_2+1}+2}=\dfrac{2^{x_2+2}-2^{x_1+2}}{\left(2^{x_1+1}+2\right)\left(2^{x_2+1}+2\right)}=\dfrac{2^{x_2}-2^{x_1}}{\left(2^{x_1}+1\right)\left(2^{x_2}+1\right)}<0$ 所以 $f(x_1)<f(x_2)$，$f(x)$ 是减函数 解析2 略 备注2 问题3 若对任意的 $t\in\mathbb{R}$，不等式 $f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围． 答案3 由题设和奇函数的性质有 $f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2)$，因为 $f(x)$ 是减函数，所以 $t^2-2t>k-2t^2$，即 $3t^2-2t-k>0$ 对任意 $t\in\mathbb{R}$ 恒成立．则有 $\Delta=4+12k<0$，$k<-\frac{1}{3}$ 解析3 略 备注3