已知正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求 $M=\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{(\dfrac{5}{12})^2+b^2}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{5\sqrt{34}}{12}$
【解析】
由柯西不等式可得 $(2a^2+1)(\dfrac{1}{2}+\lambda^2)\geqslant (a+\lambda)^2$，$[b^2+(\dfrac{5}{12})^2](1+\mu^2)\geqslant(b+\dfrac{5}{12}\mu)^2$，所以 $M=\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{(\dfrac{5}{12})^2+b^2}\geqslant \dfrac{a+\lambda}{\sqrt{\dfrac{1}{2}+\lambda^2}}+2\cdot\dfrac{b+\dfrac{5}{12}\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$ ①
取等号的条件分别为 $4a^2=\dfrac{1}{\lambda^2}$ ② $b^2=\dfrac{(\dfrac{5}{12})^2}{\mu^2}$ ③ 当 $\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{2}+\lambda^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+\mu^2}}$ 时，有 $\mu^2=4\lambda^2+1$，结合 ②③ 得 $(1+\dfrac{1}{a^2})b^2=(\dfrac{5}{12})^2$．又 $a+b=1$，所以 $b^2+\dfrac{b^2}{(1-b)^2}=(\dfrac{5}{12})^2$，整理得 $144b^4-288b^3+263b^2+50b-25=0$，故 $(4b-1)(36b^3-63b^2+50b+25)=0$ ④
记 $f(b)=36b^3-63b^2+50b+25$，则 $f^{\prime}(b)=108b^2-126b+50=108(b-\dfrac{7}{12})^2+\dfrac{53}{4}>0$，所以 $f(b)$ 在 $(0,1)$ 上为增函数，故当 $0<b<1$ 时，$f(b)>f(0)=25>0$．于是，由 ④ 可得 $b=\dfrac{1}{4}$，从而 $a=\dfrac{3}{4}$．
代入 ②③ 求得 $\lambda=\dfrac{2}{3},\mu=\dfrac{5}{3}$．
代入 ① 式，整理得 $M\geqslant \dfrac{5\sqrt{34}}{12}$，因此 $M$ 的最小值为 $\dfrac{5\sqrt{34}}{12}$．
取等号的条件分别为 $4a^2=\dfrac{1}{\lambda^2}$ ② $b^2=\dfrac{(\dfrac{5}{12})^2}{\mu^2}$ ③ 当 $\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{2}+\lambda^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+\mu^2}}$ 时，有 $\mu^2=4\lambda^2+1$，结合 ②③ 得 $(1+\dfrac{1}{a^2})b^2=(\dfrac{5}{12})^2$．又 $a+b=1$，所以 $b^2+\dfrac{b^2}{(1-b)^2}=(\dfrac{5}{12})^2$，整理得 $144b^4-288b^3+263b^2+50b-25=0$，故 $(4b-1)(36b^3-63b^2+50b+25)=0$ ④
记 $f(b)=36b^3-63b^2+50b+25$，则 $f^{\prime}(b)=108b^2-126b+50=108(b-\dfrac{7}{12})^2+\dfrac{53}{4}>0$，所以 $f(b)$ 在 $(0,1)$ 上为增函数，故当 $0<b<1$ 时，$f(b)>f(0)=25>0$．于是，由 ④ 可得 $b=\dfrac{1}{4}$，从而 $a=\dfrac{3}{4}$．
代入 ②③ 求得 $\lambda=\dfrac{2}{3},\mu=\dfrac{5}{3}$．
代入 ① 式，整理得 $M\geqslant \dfrac{5\sqrt{34}}{12}$，因此 $M$ 的最小值为 $\dfrac{5\sqrt{34}}{12}$．
答案
解析
备注
