设二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$．已知对任意的实数 $b$，都存在实数 $x\in [1,2]$，使得不等式 $|f(x)|\geqslant x$ 成立，求实数 $c$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(16)
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑问题的反面，即存在实数 $b$，使得对任意 $x\in[1,2]$，不等式 $|f(x)|<x$ 成立．由于对任意 $x\in [1,2], |f(x)|<x$ 等价于 $-1<x+\frac{c}{x}+b<1$，因此，问题的反面等价于函数 $g(x)=x+\frac{c}{x}$（$x\in[1,2]$）的值域的宽度小于 $2$．
\textbf{情形1：} 当 $c>4$ 时，限制条件为 $g(1)-g(2)<2$，解得 $4<c<6$．
\textbf{情形2：} 当 $1\leqslant c\leqslant 4$ 时，限制条件为$$\left\{\begin{aligned}
&g(2)-2\sqrt{2}<2,\\
&g(1)-2\sqrt{c}<2.\\
\end{aligned}\right.$$解得 $1\leqslant c\leqslant 4$．
\textbf{情形3：} 当 $c<1$ 时，限制条件为 $g(2)-g(1)<2$，解得 $-2<c<1$．
综上所述，问题的反面对应的 $c$ 的取值范围是 $(-2,6)$．因此，满足条件的 $c$ 的取值范围是 $(-\infty, -2]\cup [6,+\infty)$．
\textbf{情形1：} 当 $c>4$ 时，限制条件为 $g(1)-g(2)<2$，解得 $4<c<6$．
\textbf{情形2：} 当 $1\leqslant c\leqslant 4$ 时，限制条件为$$\left\{\begin{aligned}
&g(2)-2\sqrt{2}<2,\\
&g(1)-2\sqrt{c}<2.\\
\end{aligned}\right.$$解得 $1\leqslant c\leqslant 4$．
\textbf{情形3：} 当 $c<1$ 时，限制条件为 $g(2)-g(1)<2$，解得 $-2<c<1$．
综上所述，问题的反面对应的 $c$ 的取值范围是 $(-2,6)$．因此，满足条件的 $c$ 的取值范围是 $(-\infty, -2]\cup [6,+\infty)$．
答案
解析
备注
