根据题意，有\[\begin{split} g(t)&\geqslant \dfrac{f\left(-\dfrac{\pi}2\right)+f\left(\dfrac{\pi}2\right)}2\\
&=\dfrac{|t|+\left|\dfrac 32+t\right|}2\\
&\geqslant \dfrac{\left|t-\left(\dfrac 32+t\right)\right|}2\\
&=\dfrac 34,\end{split}\]等号当 $f\left(-\dfrac{\pi}2\right)$ 与 $f\left(\dfrac{\pi}2\right)$ 相等，且 $t$ 与 $\dfrac 32+t$ 异号时取得，也即 $t=-\dfrac 34$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac 34$．
其他解法因为$$f(x)=\left|(\sin x+3)+\dfrac 2{\sin x+3}+t-3\right|,$$因为 $\sin x+3\in[2,4]$，所以$$(\sin x+3)+\dfrac 2{\sin x+3}\in\left[3,\dfrac 92\right],$$于是$$g(t)=\max\left\{|t|,\left|t+\dfrac 32\right|\right\},$$于是当 $t=-\dfrac 34$ 时，$g(t)$ 有最小值 $\dfrac 34$．