已知 $ab=\dfrac14$，$a,b\in(0,1)$，则 $\dfrac1{1-a}+\dfrac2{1-b}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4+\dfrac{4\sqrt2}3$
【解析】
根据题意有 $b=\dfrac1{4a}$，代入所求表达式得$$\begin{split}
\dfrac1{1-a}+\dfrac2{1-b}&=\dfrac1{1-a}+\dfrac{8a}{4a-1}\\
&=\dfrac{4}{4-4a}+\dfrac{2}{4a-1}+2\\
&\geqslant \dfrac{(2+\sqrt2)^2}{3}+2\\
&=4+\dfrac{4\sqrt2}3,
\end{split}$$等号当 $(a,b)=\left(\dfrac{4+15\sqrt2}{31},\dfrac{15\sqrt2-4}{14}\right)$ 时取得，因此所求表达式取得最小值 $4+\dfrac{4\sqrt2}3$．
\dfrac1{1-a}+\dfrac2{1-b}&=\dfrac1{1-a}+\dfrac{8a}{4a-1}\\
&=\dfrac{4}{4-4a}+\dfrac{2}{4a-1}+2\\
&\geqslant \dfrac{(2+\sqrt2)^2}{3}+2\\
&=4+\dfrac{4\sqrt2}3,
\end{split}$$等号当 $(a,b)=\left(\dfrac{4+15\sqrt2}{31},\dfrac{15\sqrt2-4}{14}\right)$ 时取得，因此所求表达式取得最小值 $4+\dfrac{4\sqrt2}3$．
题目
答案
解析
备注
