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设 $n\in\mathbb{N^{\ast}}$，实数 $x_1,x_2,\ldots, x_n\in[-1,1]$，函数 $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_n)$．证明：对任意 $a\in(-1,0), b\in(0,1)$，都有 $\min \{|f(a)|,|f(b)|\}<1$．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(17)
【标注】
  • 数学竞赛
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    函数与方程
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    函数基本性质
  • 知识点
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    函数
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    常见初等函数
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    多项式函数
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    不等式
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    均值不等式
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    不等式
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    绝对值不等式
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    函数
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    函数的图象与性质
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    函数的凹凸性
  • 方法
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    论述方式
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    反证法
【答案】
略
【解析】
用反证法．假设存在 $a\in(-1,0), b\in(0,1]$，使得 $|f(a)|\geqslant 1, |f(b)|\geqslant 1$．
设 $\displaystyle g(x)=\sum^n_{i=1}|x-x_i|$，有 $g(x)$ 的凸凹性可知，\begin{equation}
\label{2018.QGGZMN.11.1}
g(a)\leqslant |a|\cdot g(-1)+(1-|a|)g(0), g(b)\leqslant b\cdot g(1)+(1-b)\cdot g(0).
\end{equation}注意到\begin{equation}
\label{2018.QGGZMN.11.2}
g(0)=\sum^n_{i=1}|-x_i|\leqslant n,
\end{equation}且由均值不等式可得\begin{equation}
\label{2018.QGGZMN.11.3}
g(a)\geqslant n\sqrt[n]{|f(a)|}\geqslant n, g(b)\geqslant n\sqrt[n]{|f(b)|}\geqslant n .
\end{equation}将式（\ref{2018．QGGZMN．11．2}），（\ref{2018．QGGZMN．11．3}）代入式（\ref{2018．QGGZMN．11．1}），得\begin{equation}
\label{2018.QGGZMN.11.4}
g(-1)\geqslant n,g(1)\geqslant n.
\end{equation}又由 $ x_1,x_2,\ldots,x_n\in[-1,1] $ 可知$$ g(-1)+g(1)=\sum^n_{i=1}(|1-x_i|+|1+x_i|)=\sum^n_{i=1}((1-x_i)+(1+x_i))$$于是，式（\ref{2018．QGGZMN．11．4}）中等号成立，进而有式（\ref{2018．QGGZMN．11．4}）中的不等号均为等号．从而，对任意 $ i=1,2,\ldots,n $ 都有$$ |a-x_i|=|b-x_i|=1.$$结合 $ a\in(-1,0),b\in(0,1),x_i\in [-1,1] $（$ i=1,2,\ldots,n $），知对 $ i=1,2,\ldots,n $，都有$$ a-x_i=-1,b-x_i=1\Rightarrow b-a=2.$$这与 $ a\in(-1,0),b\in(0,1)$ 矛盾．
因此，反正假设不成立，即对任意 $ a\in(-1,0),b\in(0,1)$，都有 $ \min\{|f(a)|,|f(b)|\}<1$．
答案 解析 备注
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