求最大的正整数 $n$，使不等式 $\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}$ 对唯一的一个整数 $k$ 成立．
【难度】
【出处】
1987年第5届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
112
【解析】
将原不等式变形为 $\frac{15}{8}>\frac{n+k}{n}>\frac{13}{7}$，它又等价于 $\frac{7}{8}>\frac{k}{n}>\frac{6}{7}\Leftrightarrow49n>56k>48n$．
故问题转化为求最大的开区间 $\left(48n, 49n \right)$，使其仅包含一个56的整倍数．由于区间长度为 $n$，它含有 $n-1$ 个整数．如果 $n-1\ge2\times 56$，那么区间内必含有至少2个56的整倍数，所以 $n-1<2\times56$，即 $n\leqslant 112$．当 $n=112$ 时，我们有
$48\times 112\text{=}56\times96<56\times 97<56\times 98=49\times 112$，
其中 $k=97$．显然这是满足此不等式的唯一整数，因此 $n=112$ 即为所求．
故问题转化为求最大的开区间 $\left(48n, 49n \right)$，使其仅包含一个56的整倍数．由于区间长度为 $n$，它含有 $n-1$ 个整数．如果 $n-1\ge2\times 56$，那么区间内必含有至少2个56的整倍数，所以 $n-1<2\times56$，即 $n\leqslant 112$．当 $n=112$ 时，我们有
$48\times 112\text{=}56\times96<56\times 97<56\times 98=49\times 112$，
其中 $k=97$．显然这是满足此不等式的唯一整数，因此 $n=112$ 即为所求．
答案
解析
备注
