在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，抛物线上有两个动点 $A,B$ 及一个定点 $M$，使得 $AF, MF,BF$ 的长度成等差数列．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(24)
【标注】
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证明：$AB$ 的垂直平分线经过一个定点 $Q$．标注答案略解析设 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，$B$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$，$M$ 的坐标为 $(m,n)$，则 $y_i^2= 2px_i$（$i=1,2$），$$x_1+\frac{p}{2}+x_2+\frac{p}{2}=|AF|+|BF|=2|MF|=2\left(m+\frac{p}{2}\right),$$即 $x_1+x_2=2m$ 为定值．
易知 $AB$ 的垂直平分线经过点 $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$，其斜率为 $-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$，所以 $AB$ 的 垂直平分线的方程为$$y=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)+\frac{y_1+y_2}{2}$$令 $y=0$，得$$x=\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot \frac{y_1+y_2}{2}=m+\frac{y_2^2-y_1^2}{2(x_2-x_1)}=m+\frac{2p(x_2-x_1)}{2(x_2-x_1)}=m+p,$$所以 $AB$ 的垂直平分线经过定点 $Q(m+p,0)$（假如还有其他定点，那么当 $A,B$ 运动时，垂直平分线不动，这不可能）． -
已知 $|MF|=2$，且（1）中的定点 $Q$ 到坐标原点 $O$ 的距离为 $3$，求 $\triangle QAB$ 面积的最大值．标注答案略解析由 $|MF|=m+\frac{p}{2}=2, |OQ|=m+p=3$，知 $m=1,p=2$．设 $\frac{y_1+y_2}{2}= t$，则 $AB$ 的中点为 $(1,t)$，斜率为$$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{\frac{1}{2p}(y_2^2-y_1^2)}=\frac{4}{y_1+y_2}=\frac{2}{t}.$$于是，$l_{AB}$ 的方程为 $y=\frac{2}{t}+t$．又抛物线方程是 $y^2=4x$，联立消去 $x$，得$$y^2-2ty+2t^2-4=0.$$由 $\triangle =4t^2-4(2t^2-4)=16-4t^2>0$，得 $-2<t<2$．
设 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $R$，由直线方程易得 $x_R=1 - \frac{t^2}{2}$，故 $|QR|=|3-x_R|= 2+\frac{t^2}{2}$．
从而$$\begin{aligned}S_{\triangle QAB}&=\frac{|QR|\cdot |y_1-y_2|}{2}=\frac{1}{2}\left(2+\frac{t^2}{2}\right)\sqrt{16-4t^2}\\
&=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{(8-2t^2)(4+t^2)^2}\\
&\leqslant \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\left(\frac{(8-2t^2)+2(4+t^2)}{3}\right)^3}\\
&=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^3}=\frac{16\sqrt{6}}{9}.\\
\end{aligned}$$当 $8-2t^2=4+t^2$，即 $t=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$，亦即 $l_{AB}$ 的方程为 $y=\pm \sqrt{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)$ 时，$S_{\triangle QAB}$ 取到最大值 $\frac{16\sqrt{6}}{9}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
